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离散傅里叶变换（DFT）（图） 上一回说到，在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时域是离散的n ，其频谱是离散频率周期序列，在频域也是离散的k，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。为此我们必须取有限长序列来建立其时域离散和频域离散的对应关系。 一、DFS的主值序列 上一回讨论我们知道，离散时间周期序列是一个无限长序列，其傅立叶级数展开式为 （1） 可以看出时间点序号n 是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列： （2） 主值序列x（n）就是一个长度为N的有限长离散时间序列。 同理，的DFS也是一个无限长序列，即傅立叶系数： （3） 也可以看出频率点序号k 也是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列： （4） 主值序列X（k）是一个长度为N的有限长离散频率序列。 可见，离散时间周期序列在时域和频域的主值序列，均为有限长离散序列。且主值序列的长度均为N（即n，k＝0，1，2，…，N－1）。 二、离散傅里叶变换（DFT）的定义 在离散傅立叶级数（DFS）中，取其时域和频域的主值序列，变换仍然成立。这就是离散傅里叶变换（DFT），即： （5） 和其逆变换（IDFT）： （6） 可见离散傅里叶变换（DFT）只不过是特殊的离散傅立叶级数（DFS），如果其时域和频域都仅取主值序列。 离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列和都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列和。 三、DFT的推广应用 由DFT的导入过程可以发现，DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题，而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。事实上，对于有限长离散序列，总可以把时域和频域的变换区间（序列长度）均取为N（包括适当数量的补0点），通常把N称之为等间隔采样点数，我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列，直接利用DFT的定义计算其N点变换。 在N点DFT中，无论时域还是频域，变换区间的采样点数都只有N个（即n，k＝0，1，2，…，N－1），所以我们不妨定义一个变换因子 （7） 则DFT的定义式（5）和（6）可写成 （8） （9） 例如：有效长度N1＝4的单位矩形序列 （10） 如下图所示： ? 图1 单位矩形序列（有效长度N1=4） 如果变换区间等间隔采样点数N＝16（注意：可以补零延伸为序列有效长度N1的整数倍），则其16点的DFT频谱为 （11） 其16点DFT的幅度频谱图如下： ? 图2 单位矩形周期序列的16点DFT 当然，如果取变换区间N＝32，即在有限长离散时间序列尾部补零更多位，则32点的DFT谱线更密。这是因为增长观察时间，可提高频率分辨率。但DFT频谱的包络，始终与非周期序列的离散时间傅立叶变换DTFT的连续频谱曲线一致。这又表明DFT是DTFT连续频谱的离散化。 综上所述，DFT是数码时代信号分析与合成的最重要的工具，理论上讲，几乎所有的物理信号（连续的或离散的、周期的或非周期的）的傅立叶分析都可以采用DFT实现计算机运算。 但任何理论和方法都有其局限性。究竟DFT有什么局限性？详情且听周法哲下回分解。