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 PAGE 10 資優數學研習營基本不等式講義 2006/02/12 師大數學系教授 黃文達 定義： 基本性質： （1）封閉性： （2）正定性： 基本技巧： 解題策略 1. 配方 例1、函數的最小值為 。 解： 練習：設αβγ為三角形三內角，對於任意實數x,y,z，求證： 2. 化歸 例2、若，則 的最小值為 。 ANS：1 例3、若，則 的最大值為 。 ANS：x=時 的最大值為 例4、設x,y均為實數，且滿足，則 的最大值為 ，最小值為 。 提示：令x=u+v, y=u-v，則 因此 的最大值為 ，最小值為 。 例5、設x,y均為實數，且滿足，則 的最大值為 ，最小值為 。 提示：令，則  因此 的最大值為 ，最小值為 3.三角換元 例6、函數的最大值為 、最小值為 。 提示：令 例7、已知x, y, a, b均為正實數，且，則x+y的最小值為 。 解：設則 4、數形結合 例1、函數的最小值為 。 提示：設 例2、實數x,y滿足方程，則2x-y的最大值為 ，最小值為 。 提示：直線2x-y＝b與圓有公共點，圓心到直線的距離小於半徑，則 例3、若，則u的最小值為 。 提示：設2x+y=1+t，則直線2x+y=1+t 與圓有公共點 則 思考題： 1.若，則不等式 的解為 。 提示：設 為雙曲線的上半部，直線y=ax的斜率a≦-1，直線y=ax介於y=-x與y=0之間，故x0時的解為x≧1，x0時的解為x≦-1 2.複數z滿足，則的取值範圍為 。 提示： 此時點z的圖形是一段圓弧，以線段，B(1,0)為弦，圓周角為，依圖可解出 的取值範圍為 3.已知均為銳角，且滿足，則 的最大值為 。 提示：視αβγ為向量[a,b,c]的方向角，則 例4. 設x,y,z都是正實數，求證： 提示： 練習：1.（86年度全國能力競賽）設x,y,z為正整數 試證 2.求函數 的最小值 例5. 對於滿足1?r?s?t?4 的一切實數r,s,t ，求 的最小值 提示：表示點（1,1）到雙曲線xy=s 的距離， 表示點（1,1）到雙曲線xy= 的距離 例6、函數的最大值為 ，最小值為 。 提示：表示點（-2,-1）到單位圓上的點(cosx, sinx)的連線段斜率，故最大值為，最小值為0 5.算幾不等式 例1、已知x,y,z均為正實數，且，則的最小值為 。 解：利用算數平均數大於調和平均數知 例2、已知x,y,z均為正實數，則的最大值為 。 解： 例3: 設a,b,c都是正數﹐證明 abc?(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 若a+b-c,b+c-a,c+a-b中有負數﹐設a+b-c0﹐則ca+b﹐b+c-a, c+a-b均為正數﹐結論中左式為正﹐右式為負﹐顯然成立。 若a+b-c,b+c-a,c+a-b均為非負﹐由平均不等式知 將上述三式相乘即得。 例4、設a, b, c為正實數滿足. 證明 : . 解：因為,可令, , , 其中x, y, z 為正數。 原不等式可改寫為 由x, y, z 這三個數的大小關係，易知, , 這三個數之中至多有一個數為負。 Case 1.若u, v, w 這三個數中恰有一數為負，則. Case 2.不妨設, , . 由算幾不等式可得 . 同理可得，, ; 因此. 例5 將長為a的桿子三根沿著河岸圍成一個等腰梯形，試求此梯形的最大面積 解：設底角為t 則等腰梯形的面積為 A=[accost + a] a sint=a2sint(1+cost) 則 故得最大面積為 例6：設＜＜，試求+ 的最小值。 解： 故 且等號成立 練習、設x為銳角，則的最小值為 。 提示： 等號成立的條件為 6. 柯西不等式 例1、設實數m,n,x,y滿足， 則mx+ny的最大值為 ，最小值為 。 ??： 故知mx+ny的最大值為 ，最小值為 - 例2、設實數x,y滿足，則2x-3y的最大值為 ， 最小值為 。 解： 例3、若a,b均為實數且滿足，則之值為 。