《复变函数》(西安交大第四版)第一章复数与复变函数§1．复数及其代数.doc

PAGE  PAGE 6 《复变函数》(西安交大　第四版) 第一章　复数与复变函数 §1．复数及其代数运算 复数：， ——虚数单位．　——实部， ——虚部． 两复数相等是指实部、虚部分别相等．复数间不能比较大小． 复数的代数运算： ． 加法：； 　 减法：； 乘法：； 除法：． 复数的运算满足交换律、结合律和分配律． 共轭复数：，． 　满足： (1) ； (2) ； (3) ； 　　　　　　　 (4) ， ． 例1．设 ，求 与 ． 解：， ， ， ． §2．复数的几何表示 1．复平面 y 　　平面上建立直角坐标系xoy，这样 y z (1) ． x轴——实轴， r y轴——虚轴．　两轴所在平面称为复平面． 1 (2) 复数 可用从原点指向点 (x, y) 的向量表示． o 1 x x z的摸：． ． 辐角：当 时，向量 z与x轴正向的交角， 记 ． ． 辐角主值：的主值 ，满足 ．这样，． 注：当 时，辐角不定． 复数的加减法运算与向量的加减法法则一致． (3) 三角表示法：． (4) 指数表示法：， ． 例1．将 化成三角表示式和指数表示式． 解：． ． 平面曲线可用复数形式的方程表示，且一些常见曲线用复数形式表示时形式简单． 例2．将直线方程 化为复数形式． 解：， 　代入方程得：． 例3．求下列方程所表示的曲线： (1) ；　　　　　　　　　　(2) ． 解：(1) ，方程变为：． 即 ——圆． (2) 设，则 ，　即 ——直线． y o x 2 o 1 2 x 2．复球面 （略）． §3．复数的乘幂与方根 设 ， ， 则 ； ． 若 ， z的n次幂：； 又 ， z的n次方根： ， ． 例1．求 ． 解：， 　． 例2．求 ． 解： ， ，　． 即 ， ， ． §4．区　域 1．区域 . z0 邻域：； 去心邻域：； 区域：连通的开集称为区域． 区域D的边界点P、边界．区域的边界可能由几条曲线和一些孤立点所组成． 邻域、区域 .Z2 .Z1 闭区域：区域D连同它的边界． .z0 　　 .Z0 . 2．单连域与多连域 平面曲线C：可改写成：．(复数形式) 称C为连续曲线，若连续；