教育论文：Mathematica在复变函数教学中的应用.doc

PAGE PAGE 6 Mathematica在复变函数教学中的应用 倪 致 祥# ( 阜阳师范学院物理系, 阜阳 236032 ) 摘 要：本文给出了Mathematica在复变函数教学中的典型命令与应用案例，可以培养学生的探究能力。 关键词：Mathematica；复变函数；探究 中图分类号：O41 文献标识码：A 文章编号： 0、引言 当前教学改革，一个重要的目标是充分利用现代化的手段来开展自主学习、研究性学习和在实践中学习，提高学生的学习和研究兴趣，培养学生动手能力和创新精神。多媒体课件和网络课程的出现，提高了知识传授的效率，给传统的教学形式以极大的冲击。然而要真正提高学生的创造能力，仅仅这些还不够。我们应该教会学生用所学的现代信息技术来进行探究性学习和科学研究，从教学内容上实现现代化。 物理是一门定量化的实验科学，现代物理的发展离不开数学的支持。能熟练地使用现代化的数学工具，是当代理工科大学生的基本能力。数学软件Mathematica的功能十分强大，使用非常简便，是我们进行科学研究和教学改革的很好工具。 Mathematica中与复变函数有关的命令，有许多与实变函数完全相同，例如微分、不定积分、幂级数展开等，我们称之为基本功能，将在本文的第1节中介绍。Mathematica在复变函数中还有许多特殊的功能，对此许多读者还不熟悉，我们将在第2节中作详细介绍。第3节给出了利用Mathematica进行探究性学习的一个典型案例。最后是一个简明的小结。 1、基本功能 1.1、微分 在Mathematica中对复变函数求一阶导数的命令是 D[f[z],z]或者f’[z] 求二阶导数的命令是 D[f[z],{z，2}]或者f ”[z] 多元函数对自变量求一阶偏导数和的命令分别是 D[f[z,w],z] 和D[f[z,w], w] 求二阶偏导数，和的命令分别是 D[f[z,w],{z,2}]，D[f[z,w],{z,w}] 和D[f[z,w],{w,2}] 更高阶导数的命令可以据此类推。 1．2、积分 在Mathematica中对函数求不定积分的命令是 Integrate[f[z], z] 注意在复变函数中，只有解析函数的不定积分才有意义。 对函数从z1到z2求定积分的命令是 Integrate[f[z],{z, z1, z2] 在复变函数的情况下，定积分的路径默认为从起点z1到终点z2的线段。 1．3、幂级数 在Mathematica中把解析函数在给定的 z0点展开为幂级数的命令是 Series[f[z],{z, z0, n}] 其中参数n表示展开式只显示到自变量z的第n次幂。 而一个已知的幂级数可以用命令 Sum[a[n]( z ? z0)n],{n, 0, ?}] 来求和。其收敛半径R可以用比值法来确定，公式为 相应的Mathematica命令为 Limit[Abs[a[n] / a[n+1]], n??}] 2、特殊功能 2．1、复变函数的分解 人们认识复变函数的初期，是通过把它化为实部和虚部两个2元实变函数的方法来进行探索的。Mathematica提供了把复变函数分解为实部和虚部的命令 ComplexExpand[f[x + y I ]] 例如，要把复变函数分解为实部和虚部，可以输入ComplexExpand[Sin[x + y I ]]，输出结果为Cosh[y] Sin[x] + I Cos[x] Sinh[y] 如果要分别得到实部和虚部，可以用下面的复合命令 ComplexExpand[Re[f[x+y I ]]]和ComplexExpand[Im[f[x+y I ]]] 2．2、路径积分 在Mathematica中求定积分的命令Integrate可以用来计算以折线为路径的积分。如果积分路径由点集{z0, z1, z2, …, zn}中的各点依次连接成的折线组成，则被积函数沿该路径的积分为 Integrate[f[z], { z, z0, z1, z2, …, zn}] 例如，我们沿折线路径{ 0，2，2 + i}对函数z2进行积分，Mathematica命令为 Integrate [ z^2 , { z, 0, 2, 2 + I } ] 结果为。 2．3、罗朗展开 在Mathematica中泰勒展开的命令Series还可以对复变函数进行罗朗展开。如果z0是函数f[z]的极点，则命令Series[f[z],{z, z0, n}]可以把该函数在极点展开为罗朗级数。 例如，我们把函数极点在z = 1展开，要求显示到自变量的第4次幂，对应的Mathematica命令为： Series[Sin[z]/ z /(z-1),{z, 1, 4}] 结果为 最后一项表示还有未显示的更高