数列求和方法技巧.docVIP

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，下面介绍用七种办法——“七剑”，希望对同学们有所启发： 第一剑——套用公式法 ? 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法： 1.等差数列求和公式：?? 2.等比数列求和公式： 3. ?????? [例1] 已知，求的前n项和. 分析：从题目中可看出这是一个等比数列的求和，自然想到直接应用等比数列求和公式即可． 解：由 ??? 由等比数列求和公式得??? ?? ????????????????????????????＝＝＝ 第二剑——错位相减法 这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中分别是等差数列和等比数列． [例2] 求和：… 分析：注意到式子有两个特点，单纯从系数上看，它呈等差数列，这个数列的通项是2n－1；单纯从字母上看，它呈等比数列，此数列的通项是，所以可类比推导等比数列的方法求它前n的和． ? 解：∵………………………　① ? 设 ………… ②??? ①－②得 ?? 又因为 再利用等比数列的求和公式得： ???????????????? ∴??? ? 第三剑——逆序相加法 ? 这是类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. ? [例3] 求证：（本题源自人教大纲版必修第二册下） ? 分析：这虽然看似一道组合的证明题，本质上还是数列求和，注意组合的一个公式，所以我们用逆序相加法进行尝试． ? 证明： 设………………………….. ① ? ? ?????把①式右边倒转过来得 ? ? ? ????? ?又由可得 ? ?????? …………..…….????? . ② ? ?? ①+②得? ? ? ??????? ∴?? ? 第四剑——分组求和法 ? 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. ? [例4] 求数列的前n项和： ? 分析：可以看出该数列可分成两部分，注意到一部分等差数列，一部分成等比数列．我们使用化整为零的办法先拆开，再组合． ? 解：设 ? ? ? 当a＝1时，＝ ? 当时，＝ ? 第五剑——裂项相消法 ? 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）常见的如下： ? （1）?? （2） ? （3） ? [例5]? 求数列的前n项和. ? 分析：本题符合上述的第三个公式中的情况，此时的情形． ? 解：设 ? 则 ?? ? ????????? ＝ ? ????????? ＝ ? 第六剑——分段求和法． ? 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.，对等差数列的绝对值求和也可仿效． ? [例6]? 数列中，求 ? 分析：题目要我们求前2008项的和，从前3项可以看出它不是等差、也不是等比，那么怎么办呢？先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以6为一个周期的数列． ? 解：设 ? 由可得 ? ? ? …… ? ? ∵ ? ? ? ???? ＝ ? ? ＝ ? ＝ ? ＝5 ? [例7]等差数列中，，求其前n项的绝对值的和． ? 分析：对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决． ? 解：由已知可得，则当时． ? 不妨设 ? 当时， ? ? ? 当时， ? = ? = ? ? ∴ ? 第七剑——活用通项法 ? 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. ? [例8]? 求之和. ? 分析：本题的数列也十分特殊，具有良好的美感．如果我们知道它的一个通项公式是，这样即可将之分成两部分，转化为上述的第四种方法来解决，可见对通项的识别尤为重要． ? 解：由于 ? ∴ ? ＝ ? ＝ ? ＝ ? ＝ ? 当然数列求和的方法还不止这些，但是只要同学们七剑在手，勤加修炼，做到七剑合璧，融汇贯通，定能破解这一求和问题了． ? 本文发表于《数学周报》大纲高考版总 214期