线性代数课件—ch—3—4向量空间.pptVIP

第四节 向量空间 North University of China 目录 上页 下页 返回 结束 证明 证明 证明 证明 证明 (2) 　；一、向量空间的概念 定义　设为维向量的非空集合，若对于向量的加法及数乘两种运算封闭，则称集合为向量空间．注意1 若把向量空间看作一个向量组，则的一组基就是该向量组的一个极大线性无关组，的维数就是该向量组的秩．注： 所谓对加法封闭是指：若，则；例　维实向量的全体构成一个向量空间，记为． 定义　设有向量空间，若，则称为的子空间． 一般地，由向量组所生成的向量空间为： 故，即为维向量空间． 例　任何个线性无关的维向量都可以作为的一组基，(1) 线性无关； (2) 中任一向量都可由线性表示 定义　设为向量空间，，注意2 若向量组是向量空间的一组基，例　设向量组与向量组等价，：．本节讨论限制在实数范围内． 对数乘封闭是指：若，则． 只含零向量的集合也构成一个向量空间．例　集合是一个向量空间．集合不是向量空间．例　设为两个已知的维向量，则集合是一个向量空间． 显然，任何由维向量组成的向量空间都是的子空间． 若 则称向量组为的一组基， 为的维数，记作， 并称为维向量空间．注意 只含零向量的向量空间没有基，规定其维数为零．若，则的维数不会超过， 且当时， ． 例　向量组向量空间的．证　设，则可由线性表示，因可由线性表示，故可由线性表示，即， 所以． 类似可证，． 因此． 证毕．例　给定向量组 ， 试证：向量组是向量空间的一组基，并求在下的坐标．证　令．对矩阵进行初等行变换：设是维向量空间，是的一组基，任给，则有表示式．因线性无关，据第二节定理5知，此表示式的系数是惟一确定的．定义4 称()中为在基下的坐标，记为． 由上阶梯形矩阵可知，线性无关，即是向量空间的一组基， 且， 故在下的坐标为．二、基变换与坐标变换坐标与所取的基有关，故一般来说，同一向量在不同基下有不同的坐标．下面讨论坐标与基之间的关系． 设是维向量空间，及是的两组基， 且 (3.9) (3.9) 简记为， (3.10) 其中． 定理1 过渡矩阵是可逆矩阵．　 定理1 过渡矩阵是可逆矩阵． 证 令． 若不可逆，则齐次线性方程组有非零解．设 　 即　 　　 则　　 　 　 　 这表明线性相关，矛盾，因此为可逆矩阵．证毕．为的一个非零解，定理2 设是维向量空间，及是的两组基，，且在及下的坐标分别为及．若由基到基的过渡矩阵为，则　或　．　(3.11)定义 称(3.9)或(3.10)为基变换公式，为由基到基的过渡矩阵．称(3.11)为坐标变换公式．定理2　 ，因而线性无关，故(3.11)成立．证毕．例　在中，设为向量在基 下的坐标，在基下的坐标，且． 求．解　设．由题设，　 ．再由坐标变换公式知，　或　．　(3.11),　 　　 故知 ．三、向量的内积定义　设, 称为的内积，记为，即．内积是两个向量之间的一种运算．按矩阵的记号，向量的内积也可表示为 ． 容易验证，向量的内积有下列运算规则： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ， 且等号成立的充分必要条件是． 定义了内积运算的向量空间称为欧氏空间． 定理3　对任意，恒有 ，　　　　　(3.12) 而等号成立的充分必要条件是线性相关．定理3　对任意，恒有 ，　　　　(3.12) 而等号成立的充分必要条件是线性相关．证 当时，(3.12)显然成立． 下设．设是一个实变量，并记． 因， 所以， 即 ．故当，(3.12)也成立．当线性相关时，显然有(3.12)等号成立． 反之，若(3.12)等号成立，由以上证明过程可以看出，或者；或者有惟一解，即存在实数使．故线性相关．证毕．称(3.12)为许瓦兹不等式．定义　设，称 为向量的长度或范数．特别，时，称为单位向量． 由内积的定义，显然可得：(1) ，等号成立的充分必要条件是；(2) ； (3) ．对任意的两个非零向量，定义 为的夹角．定义　若，则称与正交． 注意 零向量与任何向量正交．当时，与 正交即是．定义　若维向量组满足： (1) ； (2) ，则称为正交向量组；若还满足： (3) ，则称为正交单位向量组．非零向量 两两正交 单位长 例9　考虑阶正交矩阵， 因为实方阵且，利用矩阵乘法运算，， 　　　　　　(3.13) (3.14) 若记的行向量组为，列向量组为， 则向量组与 都为正交单位向量组． 注意　设为个维向量．若为正交单位向量组，则以它们为行向量组或列向量组所组成的矩阵均为正交矩阵． 定理4　正交向量组必线性无关