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研究生课程教学大纲 PAGE  课程编号：A****** 课程名称：矩阵论 英文名称：Matrix Theory 开课单位：理学院 开课学期：秋 课内学时：56 教学方式：讲授 适用专业及层次：工科各专业硕士 考核方式：考试 预修课程：线性代数、高等数学 一、教学目标与要求 本课程较全面、系统地介绍矩阵的基本理论、方法和某些应用，重点是线性空间与内积空间、线性映射与线性变换、矩阵与矩阵的Jordan标准形、初等矩阵与矩阵的因子分解、Hermite矩阵与正定矩阵、向量与矩阵的范数、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵与线性方程组的解、Kronecker积与线性矩阵方程等，难点是理解线性空间、线性映射、线性变换的不变子空间、算子范数等概念以及计算线性映射在基下的矩阵、矩阵在相抵下的标准形和矩阵的各种因子分解等。通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际工程技术问题的能力。通过本课程的学习，要求研究生掌握矩阵的基本理论和方法，为学习后继课程、开展科学研究打好基础。 二、课程内容与学时分配 第一章 线性空间与内积空间（8学时） 1．1 预备知识 1．2 线性空间 1．3 基与坐标 1．4 线性子空间 1．5 线性空间的同构 1．6 内积空间 第二章 线性映射与线性变换（8学时） 2．1 线性映射及其矩阵表示 2．2 线性映射的值域与核 2．3 线性变换 2．4 特征值与特征向量 2．5 矩阵的相似对角形 2．6 线性变换的不变子空间 2．7 酉（正交）变换与酉（正交）矩阵 第三章 ?-矩阵与矩阵的Jordan标准形（8学时） 3．1 一元多项式 3．2 ?-矩阵及其在相抵下的标准形 3．3 ?-矩阵的行列式因子和初等因子 3．4 矩阵相似的条件 3．5 矩阵的Jordan标准形 3．6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式 第四章 矩阵的因子分解（8学时） 4．1 初等矩阵 4．2 满秩分解 4．3 三角分解 4．4 QR分解 4．5 Schur 分解与正规矩阵 4．6 奇异值分解及其推广 第五章 Hermite矩阵与正定矩阵（6学时） 5．1 Hermite矩阵与Hermite二次型 5．2 Hermite正定（非负定）矩阵 5．3 矩阵不等式 5．4 Hermite矩阵的特征值* 第六章 范数与极限（10学时） 6．1 向量范数 6．2 矩阵范数 6．3 矩阵序列与矩阵级数 6．4 矩阵扰动分析 第七章 矩阵函数与矩阵值函数（4学时） 7．1 矩阵函数 7．2 矩阵值函数 7．3 矩阵值函数在微分方程组中的应用 7．4 特征对的灵敏度分析* 第八章 广义逆矩阵（6学时） 8．1 广义逆矩阵的概念 8．2 广义逆矩阵与线性方程组的解 8．3 极小范数广义逆与相容方程组的极小范数解 8．4 最小二乘广义逆与矛盾方程组的最小二乘解 8．5 广义逆矩阵与线性方程组的极小最小二乘解 第九章 Kronecker积与线性矩阵方程（2学时） 9．1 矩阵的Kronecker积 9．2 矩阵的拉直与线性矩阵方程 9．3