内积空间及希尔伯特(Hilbert)空间.pptVIP

第九章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间;教学目标: 　　1、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义,运用定义能够证明; 　　2、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式,并能熟练运用; 　　3、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力;; 在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个向量的内积的运算,即若 则a与b的内积定义为: 其中 表示 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于 .显然,在有限维复欧氏空间 中,由(1)定义的内积具有下述性质: 1. 2. 3. 在复欧氏空间 的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引入内积的的概念. ; 定义1设 是复线性空间,如果对 中任何在两个向量 有一复数 与之对应,并且满足下列条件: 1. 2. 3. 则称 为 与 的内积,称 为内积空间. 如果 是实的线性空间,则条件3就改为 从内积的定义,立即可以得到下面的等式 ; 设 是内积空间,令 那么 是 上的范数.事实上,由内积定义(2)式,不难证明 为了证明范数不等式 ,我们首先证明施瓦茨(Schwarz)不等式: 引理1(Schwarz不等式) 设 按内积 成为内积空间,则对于 中任意向量 成立不等式 当且仅当 与 线性相关时,不等式(4)中等号才成立. 证明: 如果 ,易知对一切 因而(4)式成立.若 ,则对每个复数 ,由内积条件1,有 令 那么上式方括号中式子为0,所以; ;所以 .称由(3)式定义的范数 为由内积导出的范数,所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若 按(3)式中范数完备,则称为Hilbert空间. 设 是由内积导出的范数,通过计算,不难证明对 中任何两个向量 ,成立平行四边形公式 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广.反之可以证明,若　是赋范线性空间,其中范数　对　中任何向量　　　,满足平行四边形公式(5),那么一定可在　中定义内积　　　,使　就是由内积　　　导出的范数.因此,(5)式是内积空间中范数的特征性质. 　　下面举一些内积空间的例子 　　例１　　　对　　　中任意向量　　,定义 易知 按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数 ;即为第七章第８节例４中当 时所定义的范数,因此由第七章第８节定理２知, 成为Hilbert空间. 　　例２　.设 定义 则 按(7)中内积也成为Hilbert空间. 　　例３当 时, 不成为内积空间． 　　事实上,令 则 且 但 ,所以不满足平行四边形公式(5),这说明 中范数不能由内积导出,因而不是内积空间. 例４ 按 不成为内积空间. 事实上,令 则 且 ,但因为 ; 所以 因此不满足平行四边形公式,这就证明了 不是内积空间. 　　设　为内积空间,由(3)给出了 上的范数,反之,通过直接计算可以证明,内积与范数之间成立如下不等式 ;(8)式称为极化恒等式,它表示内积可以用它所导出的范数来表示.当 为实内积空间时,极化恒等式变为 由Schwarz不等式,立即可知内积是两个变元的连续函数,即当 时,有