数学建模关于人口模型的倍周期现象.docVIP

PAGE  PAGE 6 关于Logistic模型的倍周期收敛现象 许 立 炜 （南京邮电学院应用数理系 南京210003） 摘要：本文运用实验和归纳的方法，讨论了如何利用Mathmatic数学软件观察Logistic模型的倍周期收敛现象以及对初值的依赖性，并从理论上解释了倍周期收敛现象。 关键词：数学模型，数学实验，差分方程 引 言 我们知道描述人口（或其它生物）在有限资源环境下增长的Logistic模型（ = 1 \* ROMAN I）（见文1） 其中表示时刻的人口数，表示自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数。人口较少时的增长率可以看成常数，称为固有增长率，记作，本文中. 为了方便用计算机对问题求解，本文考虑Logistic的离散模型，将（ = 1 \* ROMAN I）中的微分用差分形式表示，得模型（ = 2 \* ROMAN II） 取步长（单位时间：年），则由（1.1）式整理得 令（显然），，得离散的Logistic的模型 这是一个一阶非线性差分方程，无法直接求出其一般解. 但对给定的初值，我们可以利用计算机很便捷地递推算出（1.3）、（1.4）式的数值解. 二．实 验 过 程 在时，分别取初值，，，编程迭代30次，观察数据的收敛性。 下面是在Mathmatic数学软件中的程序 程序1 所得数据如下： 迭 代 次 数时时时10.10.100010.10000120.180.1800160.18000230.29520.295220.29520240.4161140.4161310.416116……………………290.50.50.5300.50.50.5改变程序1中的取值，并且比较不同初值对应的迭代序列，可发现：时， 产生的迭代序列收敛于一点，且随的增大而增大； 初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。 将程序1中改为，迭代60次所得数据如下： 迭 代 次 数时时时10.10.100010.10000120.2880.2880260.28800330.6561790.6562140.65618340.7219460.7219110.721942……………………560.7994550.7994550.799455570.5130450.5130450.513045580.7994550.7994550.799455590.5130450.5130450.513045600.7994550.7994550.799455 观察表中数据可发现：附近， 迭代序列有两个收敛点； 初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。 将程序1中改为，迭代60次所得数据如下 迭 代 次 数时时时10.10.100010.10000120.3150.3150280.31500330.7552130.7552490.755216……………………530.8269410.8269410.826941540.5008840.5008840.500884550.8749970.8749970.874997560.382820.382820.38282570.8269410.8269410.826941580.5008840.5008840.500884590.8749970.8749970.874997600.382820.382820.38282观察表中数据可发现：附近， 迭代序列有四个收敛点； 初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。 将程序1中改为，迭代60次所得数据如下 迭 代 次 数时时时10.10.100010.10000120.360.3600320.36000330.92160.9216360.921604……………………550.6738080.2253120560.8791630.6981860.0137534570.424940.8428890.054257580.9774640.529710.205253590.08811210.9964690.652497600.3213930.01407290.906979观察表中数据可发现：附近， 迭代序列不收敛； 当迭代次