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第四章 线性系统的根轨迹分析 4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 根轨迹绘制的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 (自学) 4-1 根轨迹法的基本概念 一. 根轨迹概念及应用 ? 系统的参数发生变化，其特征方程式的 根的值改变。 ? 当系统参数连续变化时（如从0→∞）， 其特征方程的根在根平面上留下的轨迹， 叫根轨迹。 ? 根轨迹与系统性能密切相关。 为什么要研究根轨迹 ？ 高阶系统求根困难，难 图解方法， 以分析参数变化对系统 简单易行 特征根的影响! ?研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能 （稳定性、稳态性能、动态性能） 例:已知单位负反馈系统的开环传递函数为： K G(s) H(s ) ? s(0.5s? 1) 试分析闭环系统的特征根随系统参数K 的 变化在s平面上的分布情况。 R(s) K C(s) ＋ － s(0.5s? 1) 解: 系统的闭环传递函数 C(s) G(s) 2K ? (s)?? ? R(s) 1??? G(s) H(s) s 2s2 2 K 系统的特征方程为 s 2 ? 22sK?? 0 特征方程的根是 s112K,11212?? ? ?s ?? ? ? K 设K 的变化范围是〔0, ∞﹚，K ?? 当时, ; K ? 0 s1 ? 0,s 2 ? ?2 当 时， 与 为不等的两个负实 00.5??K s1 s2 根: s112K,11212?? ? ?sK ?? ? ? 当 时， ,为等实根； K ? 0.5 s1 ?s 2 ? ?1 当 时， 为共轭复根; K ? 0.5 s12K11,2 ? ??j ? 当K ?? 时，s1 、s2 的实部都等于-1，是 常数，虚部趋向无穷远处 j ? K ?? (0)K ? (0.5)K ? (0)K ? -2 -1 0 ? K ?? 系统的根轨迹 根轨迹变化与系统性能的关系 根轨迹 稳定性 动态性能 K s1 s2 00-2系统稳定 过阻尼系统 1-1-1 临界阻尼系统 2 -1+j -1-j 欠阻尼系统 ……… ∞ -1+j∞ -1-j∞ 无阻尼系统 ? 用根轨迹图来分析自动控制系统十分方便。 ? 对于高阶系统，求解特征方程的根非常困难。 ? 如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程 根的影响，就需要大量反复的计算。 ? 1948年伊万斯（W·R·EVANS）解决了这个问题，提 出了根轨迹法。 ? 根轨迹方法不需要求解闭环系统的特征方程，只 需依据开环传函便可会绘制系统的根轨迹图。 二. 根轨迹方程 ? 通常，系统的开环零、极点已知，因此建 立开环零、极点与闭环极点之间的关系， 有助于闭环系统根轨迹的绘制。 R(s) C(s) G(s) － H(s) G(s) ?(s) ? 1? G(s)H(s) 前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s) 可分别表示成因式相乘的形式： 前向通路根 轨迹增益 ff