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五、分部积分法
由导数公式 (uv)? ? u?v ? uv?
积分得: uv ? ? u?vdx ? ? uv?dx
? uv?dx ? uv ? ? u?v dx
分部积分公式
或 ? ud v ? uv ? ? v du
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
xlq 1
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三”
的
顺序, 前者为 后者为
反: 反三角函数
对: 对数函数
幂: 幂函数
指: 指数函数
三: 三角函数
xlq 2
例1. 求
解: 令 则
∴ 原式 =
xlq 3
例2. 求
解: 令 则
得递推公式
xlq 4
递推公式
说明: 已知 利用递推公式可求得
例如,
xlq 5
例3. 证明递推公式
n?2 2
证: In ? ? tan x (sec x ?1)dx
n?2
? ? tan x d(tan x) ? In?2
tann?1 x
? ? I
n ?1 n?2
注: 或
xlq 6
说明:
分部积分题目的类型:
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,
解出积分后加 C )
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递
推公式 .
xlq 7
例4. 已知 的一个原函数是 求
解:
说明: 此题若先求出 再求积分反而复杂.
xlq 8
arctan x
例5(综合计算). 求 I ? e dx.
? 3
( 1 ? x2 ) 2
解法1 先换元后分部
令 t ? arctan x, 即 x ? tant , 则
e t
I ? ?sec2 t d t ? e t cos t d t
? sec3 t ?
t t
? e sint ?? e sin t d t 1? x2
? e t sint ? e t cost ? ? e t cos t d t x
1 t
故 I ? (sint ? cost)e t ? C
2 1
1 x 1 ? arctan x
? ? ? e ? C
2 ?? 1? x2 1? x2 ??
xlq 9
解法2 用分部积分法
xlq 10
作业：习题册
P39, 40
补充1、求
补充2、求
补充3 . 求
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