GZX筛法.doc

PAGE  PAGE 7 GZX筛法 郭占祥 GZX筛法与爱拉脱士散纳的古典筛法有很大的不同，以下两种筛法的目的是为了揭示素数与孪生素数分布规律。 每一个素数Pn在自然数列1,2,3,…,n,n+1,…中准确无误的分布位置，是素数分布规律。一个自然数(n+1)是否是素数，取决小于它是否是它的小于数1,…, []的积。 素数序列2,3,5,…,Pn,Pn＋1,…中的素数Pn＋1决定于小于它的素数。 每一对儿孪生素数(Pf,Ps)在奇数列1,3,5,…,d,d+2,…中准确无误的分布位置，是孪生素数分布规律。一对儿孪生数(d,d+2)是否是孪生素数，取决小于它们是否同时是它们的小于数1,…, [] ，[]的积。 素数序列2,3,5,…, (Pf,Ps),…中的孪生素数(Pf,Ps)决定于小于它们的素数。 Ⅰ 素数倍数筛法 本筛法是将有限素数2,3,5,…,Pn逐一从非1自然数列2,3,4,…,n,n+1,…中筛出，揭示素数在非1自然数列中的分布规律。 （一）筛选区间的确立：不难证明把区间[2，n]里素数能整除的合数筛出后，剩余的非1自然数都是素数。例如，把素数2整除的合数4,6,8,…筛出后，在区间[2，32-1]里，剩余的是素数2,3,5,7； 因为有限素数公倍数210=2×3×5×7，所以素数公倍数筛选区间是[2，211]。 在非1自然数列中，区间项数等于有限素数公倍数，这样的区间，叫做素数公倍数区间。 （二）筛法示例：其30=2×3×5；在有限素数2,3,5的公倍数区间 [2，31]里，将素数2,3,5的倍数逐一筛选出来。 （1）将素数2的倍数2,…,30从区间 [2，31]里筛选出来，计15个，占总项数30的；见下表：最小非整除数3一定是素数2的第一后继素数。 ↓3↓5↓7↓9↓11↓13↓15↓24681012141617↓19↓21↓23↓25↓27↓29↓3118202224262830（2）将剩余的、素数3的倍数3,…,27从区间 [2，31]里筛选出来，计5个，占总项数30的；见下表：最小非整除数5一定是素数3的第一后继素数。 2↓45678↓1011121314↓16391517181920↓2223242526↓282930312127（2）将剩余的、素数5的倍数5,25从区间 [2，31]里筛选出来，计2个，占总项数30的；见下表：最小非整除数7一定是素数5的第一后继素数。 234↓67891011121314151651718192021222324↓26272829303125小结：在有限素数2,3,5的公倍数区间 [2，31]里，有限素数2,3,5的倍数{2,3,5|b1,…, bz}有30-(2-1)(3-1)(5-1)=12个；其分布密度=××=．不是有限素数2,3,5的倍数的数{2,3,5q1,…, qz}有(2-1)(3-1)(5-1)=8个；其分布密度=××=．最小非整除数7一定是素数2,3,5的第一后继素数。 （三）素数分布规律：设qn=2×…×Pn；在非1自然数列的有限素数2,…,Pn的公倍数区间[2，qn+1]里，有限素数2,…,Pn的倍数{2,…,Pn|b1,…,bz}有qn-(2-1)(3-1)(5-1)…(Pn-1)个；其分布密度=×××…×＜1．不是有限素数2,…,Pn的倍数的数{2,…,Pnq1,…, qz}有(2-1)(3-1)(5-1)…(Pn-1)个；其分布密度=×××…×＜1．最小非整除数q1一定是素数2,…,Pn的第一后继素数“Pn+1”。 Ⅱ 孪生数筛法 定义：在非1奇数列3,5,7,9,…,d,d+2,…中，除了能被3整除的奇数3,9,15,…以外，其余两个相差为2的奇数，称孪生数。 独立孪生数列：5,7；11,13；17,19；23,25；…；q,q+2；… 本筛法是将含有奇素数5,7,11,…,Pf倍数的孪生数逐一从非1奇数列3,5,7,9,…,d,d+2,…中筛出，揭示孪生素数在非1奇数列中的分布规律。 （一）筛选区间的确立：不难证明把区间[3，d]里奇素数能整除的奇合数筛出后，剩余的非1奇数都是奇素数。例如，把奇素数3整除的奇合数9,15,21,…筛出后，在区间[3，52-2]里，剩余的是奇素数3,5,7,11,13,17,19,23； 因为有限奇素