哈工程振动噪声--第4章连续体振动选编.pptVIP

这是因为 式中　　　　　　可根据前页公式求得　　　　　 第四章 连续体振动 §4.4 梁弯曲振动 系统前三阶振型曲线为 第四章 连续体振动 §4.4 梁弯曲振动 不同边界条件下欧拉·伯努利梁的频率方程、振型函数和前4阶βil的值 第四章 连续体振动 §4.4 梁弯曲振动 第四章 连续体振动 §4.4 梁弯曲振动 C、振型的正交性 与离散系统一样，连续系统包括梁振动在内也存在主振型的正交性。 设Ym（x）和Yn（x）为对应于m和n阶的固有角频率 、 的振型函数，因此满足梁横振方程，有 第四章 连续体振动 §4.4 梁弯曲振动 将上述(a)式乘以Yn（x）、(b)式乘以Ym（x）后相减。再从0到l 对x 进行积分，得 第四章 连续体振动 §4.4 梁弯曲振动 对自由、简支、固定三种支承条件作任意组合的边界条件，上式的右边恒等于零。因此，当m≠n时， ≠ ，由此得正交关系为 当m=n=i时，若Yi(x)为正则化的振型函数，则有 以上几式表示了欧拉一伯努利梁振型函数的正交性。 第四章 连续体振动 §4.4 梁弯曲振动 Home Works 1. 求两端固定的等截面均匀杆纵向振动的固有角频率和主振型函数，并画出前四阶振动的主振型 3. 求悬臂梁弯曲振动时的特征（频率）方程和振型函数。 2. 确定一端固定、一端自由的均匀圆杆的自由扭振特性. page * 授课人——柳贡民 * 动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering 实际的工程结构都是弹性系统，也就是质量和弹簧连续分布的系统。它可以看作无数个质点借弹性联系组成的连续系统,其中每一质点都具有独立的自由度。所以，一个弹性体的空间位置需要用无数个点的独立空间坐标来确定。也就是说弹性体有无穷多个自由度。 本章所研究的连续体模型假设是所谓的理想弹性体，即遵守虎克定律，系统的材料是均匀的，各向同性的。 连续系统的振动运动是用空间和时间坐标来描述的，它的运动方程是偏微分方程。此外还需要考虑弹性体的特性及支承方式，因此在分析中又引进了弹性力学和边界值问题。 第四章 连续体振动 §4.1 简介 本节考虑的杆假设是细杆，且沿其长度方向是均质的。由于轴向力的作用，横截面沿着杆的轴向产生位移u ，这个位移是位置x和时间t的函数。设u(x,t)是杆的微元dx的左横截面的轴向位移。 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 杆微元dx的隔离体图 根据牛顿第二定律 ，有 由虎克定律得应力应变关系为 其中P是x处的轴向力，A是横截面积，E是杨氏弹性模量。 式中ρ是杆单位体积的质量。 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 由前页两式得到 即 设 ，则有 其中a是杆中纵波沿轴向传播的速度 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 利用分离变量法，设 代入上述一维波的方程，得到 即 上述方程左边的值依赖于时间变量，而右边的值依赖于空间变量，因此，只有当方程的左边和方程的右边等于同一个常数，才能成立。为了使解在时域内是有限的，并且可得到满足边界条件的非零解，设常数为-ω2，则有 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 这两个方程的一般解为 其中A、B、C’、D’4个常数由边界条件和初始条件确定。 系统的解为 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 在实际应用中，边界条件一般很难确定。杆的几种典型边界条件是： 杆端条件 左端边界条件 右端边界条件 固定端 自由端 应力为零 弹性载荷 惯性载荷 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 例4-1 针对两端自由的杆，其边界条件为在任何时刻杆的两端应变为零，即 和 将上述边界条件代入解中，得到 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 因此 此时D不能为零，否则就得到u（x，t）＝0的非振动解，因此必有 上式为杆纵向振动的频率方程，它有无限多个固有频率。由上式可得 杆的固有角频率为（实际上还有对应于刚体运动的零频率）： 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 由于U（x）幅值的任意性，对应于ωi的振型可取 令i=1、2、3，分别代入前两式，求得前3个非零阶固有频率和相应的主振型，即 第四章 连续体振动 §4.2 杆的纵振 这三阶主振型如下图所示。 1 -1 -1