2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标14 导数与函数的单调性 理.docVIP

PAGE  PAGE 5 2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标14 导数与函数的单调性 理 [解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大． 一、选择题 1．(2017·福建福州模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　D　) 解析：由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上f′(x)0，在(0，＋∞)上f′(x)0.选项D满足，故选D． 2．(2017·苏中八校联考)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　A　) A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：函数的定义域是(0，＋∞)， 且f′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，令f′(x)0， 解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)． 3．(2017·吉林长春调研)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x3＋ax＋4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：f′(x)＝eq \f(3,2)x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件． 4．函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2－x)＝f(x)，且当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)f′(x)，若1a2，则有(　C　) A．f(2a)f(2)f(log2a) B．f(2)f(log2a)f(2a) C．f(log2a)f(2)f(2a) D．f(log2a)f(2a)f(2) 解析：∵函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2－x)＝f(x)，∴函数图象的对称轴为直线x＝1.又∵其导函数f′(x)满足xf′(x)f′(x)，即(x－1)f′(x)0，故当x∈(1，＋∞)时，函数单调递增，x∈(－∞，1)时，函数单调递减．∵1a2， ∴0log2a1,2a2，∴f(log2a)f(2)f(2a)，故选C． 5．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)·f′(x)0的解集为(　D　) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，2)∪(1,2) C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 解析：由题图可知，f′(x)0，则x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f′(x)0，则x∈(－1,1)，不等式(x2－2x－3)f′(x)0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f′?x?0，,x2－2x－30，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f′?x?0，,x2－2x－30，)) 解得x∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 6．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　C　) A．[1，＋∞) B．[1,2) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) 解析：f′(x)＝4x－eq \f(1,x)＝eq \f(?2x－1??2x＋1?,x)， ∵x0，由f′(x)＝0得x＝eq \f(1,2). ∴令f′(x)0，得xeq \f(1,2)；令f′(x)0，得0xeq \f(1,2). 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－1≥0，,k－1\f(1,2)k＋1))?1≤keq \f(3,2).故C正确． 二、填空题 7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为(－1,11)． 解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)0，即3(x－11)(x＋1)0，解得－1x11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)． 8．f(x)＝xn2－3n(n∈Z)是偶函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n＝1或2. 解析：∵f(x)＝xn2－3n(n∈Z)是偶函数，∴n2－3n＝2k(k∈Z)， 即f(x)＝x2k，∴f′(x)＝2kx2k－1， ∵f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数， ∴在(0