2013年校内建模竞赛题答案.docVIP

第  PAGE 6 页 共  NUMPAGES 6 页 韶关学院第十三届数学建模竞赛题参考解答 一、 模具加工 某工厂需要加工一批圆锥形模具，原料为半径为a的圆形铁皮，加工工艺是从原料剪去一个角?，将它卷成一个无底圆锥，试问??为何值时，加工出圆锥形模具体积最大？最大值是多少？ 解：设卷成的圆锥低半径为r，则高为， 当时等号成立，所以。 因为：，所以。 二、隧道车速 某地的一条过江隧道经常发生交通拥挤，交通事故隐患极高。为确保安全，当地交通部门规定，隧道内行驶的前后两辆汽车间的车距正比于车速的平方与车身长之积，比例系数为1/1600，且最小车距不少于半个车身长。假设通过隧道的汽车车身长度一致，试问应规定车速多少，可使隧道的车流量达到最大？ 解：假设车身长为l (米), 车距为d (米), 车速为v (千米/小时)。由于最小车距为 l / 2，因此可知最小车距时的最高车速应该满足 由此可得最小车距时的最高车速为 (千米/小时) （5分） 从而可知，隧道内两辆车间的车距为 （5分） 因此，通过隧道的车流量为 由上式可知，当，最大车流量为 （5分） 当，由 可得 且等号成立当且仅当 （5分） 可得车速为40千米/小时。即当时，最大的车流量为Q(40) = 20000 / l, 对应车速为40千米/小时。再由 可知，应规定车速为40千米/小时可使得通过隧道的车流量最大。 （5分） 三、产品推销 现代社会的一个特点是科学技术飞速发展，新技术新产品不断涌现。某公司利用新技术研发出了一种新产品，为了推销这种新产品，公司先向社会免费赠送了Y0件该产品。请根据下述已知情况分别建立产品销售量Y(t)的数学模型并求解： （1）该产品的销售速度与已使用该产品的人数成正比，该产品的市场容量无限（写出模型并求解）； （2）该产品的市场容量为Ym，销售速度会随市场保有量的增加而减少（写出模型即可，不需求解）。 解：（1）设开始销售时刻为零时刻，则依题数学模型为 （5分） 其中k为比例系数，可解得 . （10分） （2）因销售速度会随市场保有量的增加而减少，故此时模型为 （10分） 这是伯努利微分方程，其解为(结果仅供参考，不计分): 四、糖果选购 市场上有甲、乙两种品牌的糖果，单价分别为4元/千克，2元/千克。某人需要购买一批糖果，要求花在糖果上的钱不超过20元，总的糖果量不少于5千克，而乙牌糖果至少要和甲牌一样多但又不能多于甲牌糖果量的三倍。试问应该如何购买最好？ 解：假设购买甲牌糖果 x 千克，乙牌糖果 y 千克，依题可建立如下数学模型 （10分） 使用图解法，画出可行域如下： 由图可知，目标函数曲线Z = 4x+2y 移动到曲线 y = 3x 与 x + y = 5 的交点处时可使总费用最少，解得 x = 5/4, y = 15/4, 购买费用为12.5元。 （15分） 五、寻找河岸 一个人在雾天从岸边任选了一个方向沿直线向水里游去，当游了500米后，他停住了并向四周张望，但都看不到陆地。随后他随便定了一个方向沿直线往下游去。假定岸边是呈直线型的，并且没有受到潮汐运动的影响。问这个游泳者在再游500米之前能够到达岸边的概率。(提示：决定游泳者最后位置的变量为下图所示两个方位角：初始方位角和再选方位角) 解：决定这位游泳者最后位置的变量是什么？仔细分析后不难发现，它们是两个方位角：初始方位角和再选方位角，易知：，。在确定游泳者能够到达岸边的和的范围是，分两种情况考虑： 图1 图2 当时，； 当时，。 于是，样本空间R为矩形区域；事件r的区域为：它由两个直角三角形组成（如下图）。故 说明：在确定游泳者回到岸边的条件时，我们是以再游500码后游泳者到达岸边进行计算的。若从游泳者能否安全回到岸上来考虑，游泳者离岸较近或游500码以后能看到岸边都算是成功的返回，这一可能性当然要比25%大。本题中强调“雾天”和“之前到达岸边”是使问题简化，便于确定两个方位角的范围。 六、港口选择 有一艘远洋货轮计划在A港口装货后驶入F港口，中途需要停靠港口添加燃油、淡水等补给。已知该货轮中途可停靠港口及其距离如下图所示（单位：百海里, 1海里=1852米），请你给出该货轮最合理的停靠方案，以使总航程最短。 解：这是一个多阶段决策问题。 解法一：列举法（略） 解法二：逆推法。记 f(X)为 X 点到终点的最短