现代控制理论第十章二次型性能指标的线性系统最优控制.pptVIP

第十章 二次型性能指标的线性系统最优控制; 因此二次型性能指标的线形系统最优控制问题被广泛应用到各种工程实际中，例如：导弹的角度控制、电冰箱的温度控制等。;二次型性能指标线性系统最优控制问题可以描述如下：; 这里，权函数 ， 为正半定矩阵， 为正定矩阵。假定 固定。要求寻找最优控制 ，使性能指标 为最小。; 这里，被积函数的第一项 代表整个过程中误差 的大小。由于 的正半定性，决定了这一项的非负性；被积函数的第二项 代表控制功率的消耗，其积分表示整个过程中控制能量的消耗。由于 的正定性，决定了这一项总为正，由于这个原因，对 往往不需再疑义约束，而常设 为自由的；指标函数的第一项 表示终值误差。从理论上讲，被积函数的第一项已经包括了终端误差的万分，但如需特别强调终值误差，则可加上此项。;因此，二次型性能指标的最优控制问题实质上是：要求用较小的控制能量来获得较小误差的最优控制。;第一节 线性连续系统状态调节器问题; 这个问题的求解可以用极小值原理或动态规划法，这里，我们应用极小值原理来求解。首先列写哈密尔顿函数;由于控制不受约束，控制方程满足;将式（10-11）代入正则方程; 由于横截条件中 与 存在线性关系，而正则方程又是线性的。因此可以假设，在任何时刻 与 均可以存在如下线性关系；;将式（8－16）代入式（8－9）; 它是一个阶非线性矩阵微分方程。比较式（10-15）及式（10-16），可知式（10-21）的边界条件为： ;下面对以上结论作几点说明： ; ⑵ 可以证明（略）， 是一个对称阵。由于它是非线性微分方程之解，通常情况下难求得解析解，一般都需由计算机求出其数值解，并且由于具边界条件在终端处。因此需要逆时间方向求解，并且必须在过程开始之前就将 解出，存入计算机以供过程中使用。由于黎卡提微分方程与状态及控制变量无关，因此在定常系统情况下，预先算出可能的。 ; ⑷ 将最优控制及最优状态轨线代入指标函数，最后可求得性能指标的最小值为：（证明略）。;例10-1 设线性系统状态方程为：;解: 本例相应的具有关矩阵为：;将 代入式;根据等号两边矩阵的对应元素就相等，可得下列方程：;已知 ，上列方程的终端边界条件为：;第二节 时线性定常连续系统状态调节器问题;这里讨论的问题与第二节相比，有以下几点不同：; 4.要求受控制系统完全可控，以保证最优系统的稳定性。在前节讨论控制区间 为有限时，即使出现某些状态的不可控制情况，其以性能指标的影响通常总是有限的，因此最优控制仍然可以存在。但是，当控制区间为无限时，如果出现状态不可控，则不论采取什么控制，都将使性能指标趋于无穷大，也就无法比较各种控制的优劣了。;最优控制存在并唯一，其形式为; 下面，着重讨论一个黎卡提微分方程解的性质。一般情况下， 曲线的形状大致如图10-2所示。可能看到， 曲线具有以下性质：;2. 在接近终端时变化比较剧烈。; 由此，可以把 曲线看作以 作为起始时刻， 作为起始值，逆时间方向进行的一个过程。当 离终端时刻 足够远时 ，这个过程已经逐渐衰减并趋于其 。由于 的过渡过程存在于靠近终端区域，因此最优系统的有限控制区间总是远离终端的，从而 实际可以采用稳态值，即 。这里 显然满足 时的黎卡提微分方程 ; 上式称为黎卡提矩阵代数方程。这是一个非线性代数方程，求解式（10-30）可得稳态值 。这了保证最优系统的稳定性， 必须是正定的（证明略）。这样，得到了所期望的结果，即：最优控制为状态线性反馈，并且反馈增益为常值。由此可以构成线性时不变的状态调节器，使结构大为简化，这一点在工程实现上具有很大实用意义。闭环最优控制的结构图如图10-3所示。;例10-2 设系统状态方程为;解: 本例的有关矩阵为：;首先由黎卡提代数方程求解 ;由此解得：;代入 ，可得;第三节 线线连续系统输出调节器问题;式中 为正半定矩阵， 为正定矩阵，要求最优控制 ，使性能指标 为最小。; 这类