张禾瑞高等代数课件第1章.pptVIP

第一章 基本概念;在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。 ――康托尔（Cantor,集合论的奠基人，1845－1918） 算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855） 数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879) ;1.1 集合;1.1.1 集合的描述性定义;一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：?;1.1.2 集合的表示方法; 表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合. ;1.1.3 集合的包含和相等;如果A不是B的子集，就记作： 或 . 因此，A不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，即：;例如，设A={1，2}，B是二次方程 的根的集合，则A=B. ;1.1.4 集合的运算及其性质;交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交)，记作： ，如图2所示.;两个集合A与B不一定有公共元素，我们就说它们的交集是空集. ;运算性质:;两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设 是给定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的一切公共元素所成的集合叫做的 交.  的并和交分别记为： 和 . 我们有;差运算： 设A，B是两个集合，令;1．2 映射;1.2.1 映射的概念及例;例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令  与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射，;例5 令A=B等于一切正整数的集合. 不是A到B的一个映射，因为 .;1.2.2 映射的相等及像;1.2.3 映射的合成;;设给映射 ， ， ，有 . 但是，一般情况下 ， 设A是非空集合 ， 称为设A上的 恒等映射。;1.2.4 单射、满射、双射;如果既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件，;证 如果①成立. 因为f 是满射，所以对于B的每一个y，有 ，使得 ;反过来，设②成立. 先证明f 是满射. 设 ，令 . 由于 ，所以;那么由①和②，我们有 ;如果存在集合A到集合B的一个双射，我们有时候也说，在A与B的元素之间存在着一一对应. ;因为 ，所以 ，且 ，所以 . 有 ;1.3 数学归纳法;1.3.1 最小数原理;1.3.2数学归纳法的依据;例1 证明，当 时，n 边形的内角和等于(n-2)π.;定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.;1.4 整数的一些整除性质;1.4.1 整除与带余除法 ;定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 ，那么存在一对整数q和r，使得;所以 。这是与r是S中最小数的事实矛盾。因此 . ;1.4.2 最大公因数;定理1.4.2 任意 个整数