医用高等数学第4章课件.pptVIP

第四章 不定积分 Integration 第一节、不定积分的概念和性质 第二节、换元积分法和分部积分法 第三节、有理式积分法 第一节 不定积分的概念和性质 原函数和不定积分的概念 不定积分的几何意义 不定积分的性质 不定积分的基本公式及线性运算法则 例 一、原函数与不定积分的概念 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： 则 证 不定积分的定义： 例1 求 解 解 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 x x y o 二、不定积分的几何意义 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 三、基本积分表 基本积分表  说明： 例4 求积分 解 根据积分公式（2） 例5、求积分 例6、求积分 证 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 三、 不定积分的性质 例7 求积分 解 例8 求积分 解 例9 求积分 解 例10 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 解 所求曲线方程为 基本积分表(1) 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 四、 小结 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ 思考题解答 不存在. 故假设错误 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. 第二节 换元积分法和分部积分法 一、第一类换元法（“凑”微分法） 二、第二类换元法 三、分部积分法 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 一、第一类换元法 在一般情况下： 由此可得换元法定理 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理1 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） 例2 求 解 一般地 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 例8 求 解 例9 求 原式 例10 求 解 例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 例12 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） 解（二） 类似地可推出 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 （应用“凑微分”即可求出结果） 二、第二类换元法 第二类积分换元公式 例16 求 解 例17 求 解 例18 求 解 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 说明(2) （三角代换很繁琐） 解 例20 求 解 说明(3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 解 例22 求 解 （分母的阶较高） 解 基本积分表  问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分公式 三、分部积分法 例24 求积分 解（一） 解（二） 例25 求积分 解 （再次使用分部积分法） 总结 例26 求积分 解 例27 求积分 解 总结 例28 求积分 解 例29 求积分 解 注意循环形式 三、小结 两类积分换元法： （一）“凑”微分 （二）换元法（三角代换、倒代换、根式代换） 基本积分表 分部积分法 思考题 求积分 思考题解答 思考题 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？ 思考题解答 第三节 几类特殊函数的不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 一、有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 特殊地： 分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 例2 求积分 解 例3 整理得 求积分 解 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 讨论积分 则 记 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 三角