2013年二轮复习专题几何第2讲圆锥曲线中的定点、定值与最值问题范本.ppt

第2讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题 二轮复习专题 解析几何 1．圆锥曲线有关定点、定值、最值问题等综合性问题，它涉及到圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性． 2．圆锥曲线中最值问题的解法常用方法有几何法、函数法或不等式法，其中几何法是根据图形几何性质求解的方法；函数法是指将所求变量表示成某个相关变量的函数，再求函数的最值；不等式法是根据曲线性质及条件建立一个关于所求变量的不等式，再解不等式，求其最值的方法． 3．解析几何定值包括几何量的定值或曲线系(直线系)过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明，对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 一、圆锥曲线背景下的定点问题 二、圆锥曲线背景下的定值问题 三、圆锥曲线背景下的最值问题 [例1](2012年·福建卷)如图，椭圆E：＋＝1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． [解析]　(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8. 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1， 所以b＝＝. 故椭圆E的方程是＋＝1. (2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0， 化简得4k2－m2＋3＝0. (*) 所以P(－，)． 由得Q(4，4k＋m) M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． 设M(x1，0)，则对满足(*)式的m，k恒成立． 因为(－－x1，)，(4－x1，4k＋m)， 由，得 －＋－4x1＋x＋＋3＝0， 整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(* *) 由于(* *)式对满足(*)式的m，k恒成立， 所以解得x1＝1. M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M. 跟踪练习 在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(－，0)，直线PA与PB的斜率之积为－. (1)求动点P轨迹E的方程； (2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M，Q不重合)，求证：直线MQ过定点． 解：(1)由题知：·＝－， 化简得：＋y2＝1(y≠0)． (2)证法1：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：y＝k(x－1)， 代入＋y2＝1(y≠0)整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0. x1＋x2＝，x1x2＝， MQ的方程为y－y1＝(x－x1)，令y＝0， 得x＝x1＋＝x1＋＝＝2，直线MQ过定点(2,0)． 证法2：由对称性可知，若MQ过定点，则定点一定在x轴上， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：y＝k(x－1)， 代入＋y2＝1(y≠0)整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， x1＋x2＝，x1x2＝， 设MQ过定点R(m,0)，则，而＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，－y2)， 则(x1－m)·y2＋(x2－m)·y1＝k[2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋2m]＝k＝k·＝0. m＝2，直线MQ过定点(2,0)． [例](2012·湖南卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值． (1)求曲线C1的方程； (2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值． 解：(1)方法1：设M的坐标为(x，y)，由已知得 |x＋2|＝－3， 易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧， 于是x＋20，所以＝x＋5. 化简得曲线C1的方程为y2＝20x. 方法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离，因此，曲线C