导数应用课件3.pptVIP

第四课　 导数应用　;【网络体系】;1.函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数 在某个区间内，若都有f′(x)0，则在这个区间上 y=f(x)是_______. 若都有f′(x)0，则在这个区间上y=f(x)是_______.;(2)函数的极值与导数 ①极大值：函数y=f(x)满足f′(x0)=0且在区间(a，x0) 上是增加的，_________；在区间(x0，b)上是减少的， _________，则点x0是极大值点，f(x0)是极大值.;②极小值：函数y=f(x)满足f′(x0)=0且在区间(a，x0) 上是减少的，_________；在区间(x0，b)上是增加的， _________，则点x0是极小值点，f(x0)是极小值.;2.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a，b)内的_____. (2)将函数y=f(x)的各极值与_____________________ _____比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为 最小值.;【易错警示】 1.关于导数与函数的单调性 (1)运用导数判断函数的单调区间时，要注意在函???的定义域内判断.特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结.;(2)已知函数单调性求参数(或范围)时，要特别注意f′(x)≥0(f′(x)≤0)与f(x)单调性的关系：f(x)是增加(减少)的，一定可以推出f′(x)≥0(f′(x)≤ 0)，但反之不一定，因为f′(x)≥0(f′(x)≤0)，即为f′(x)0(f′(x)0)或f′(x)=0.当函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数，函数不具有单调性.;2.关于函数的极值(最值) (1)求函数极值时，要注意x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，即若f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右的符号：“左正右负”?f(x)在x0处取极大值；“左负右正”?f(x)在x0处取极小值，而不仅是f′(x0)=0.;(2)求函数的最值时要注意比较三类点：导数不存在的点、导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值. ;类型一　导数与函数的单调性 【典例1】已知函数f(x)=x3+ax2+x+1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间. (2)设函数f(x)在区间 内是减少的，求a的取 值范围.;【解析】(1)因为f(x)=x3+ax2+x+1， 所以f′(x)=3x2+2ax+1. 当Δ≤0，即a2≤3时，f′(x)≥0，f(x)在R上递增. 当a23，f′(x)=0求得两根为，x= 即f(x)在 上是增加的，;在 上是减少的， 在 上是增加的. 所以函数f(x)在 上是 增加的； 在 上是减少的.;(2)若函数在区间 内是减少的，则f′(x)=3x2+2ax+1两根在 区间外， 即 解得a≥2， 故a的取值范围是[2，+∞).;【方法技巧】 1.利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导数f′(x).;(3)解不等式f′(x)0或f′(x)0. (4)将(3)中的解集与(1)中的定义域取公共部分写出增(减)区间.;2.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意.;(2)先令f′(x)0(或f′(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“=”，看此时f(x)是否满足题意.通常验证参数取“=”这一步当不影响结果时可省略.;【变式训练】(1)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[-1，2]，求b，c的值. (2)设f(x)=ax3+x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围.;【解析】(1)因为函数f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c， 由题设知-1x2是不等式3x2+2bx+c0的解. 所以-1，2是方程3x2+2bx+c=0的两个实根， 所以-1+2=- b，(-1)×2= ，即b=- ，c=-6.;(2)因为f′(x)=3ax2+1，且f(x)有三个单调区间， 所以方程f′(x)=3ax2+1=0有两个不等的实根， 所以Δ=02-4×1×3a0，所以a0. 所以a的取值范围是(-∞，0).;【补偿训练】1.若函数f(x