《高等数学》[北大第二版]6—4课件.pptVIP

多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 * 混合偏导 解 解 全微分 回顾：对于一元函数 ，可导与可微一致 微分概念推广到二元函数 z D = ) , ( ) , ( y x f y y x x f - D + D + 全增量： 如果函数 ) , ( y x f z = 在点 ) , ( y x 的全增量 ) , ( ) , ( y x f y y x x f z - D + D + = D 可以表示为 ， ) ( r o y B x A z + D + D = D ，其中 B A , 不依赖于 y x D D , 而仅与 y x , 有关， 2 2 ) ( ) ( y x D + D = r 则称函数 ) , ( y x f z = 在点 ) , ( y x 可微分， y B x A D + D 称为函数 ) , ( y x f z = 在点 ) , ( y x 的 全微分 ，记为 dz ，即 dz = y B x A D + D . 全微分定义 由于 , 定理3 （必要条件) 如果函数 ) , ( y x f z = 在点 ) , ( y x 可微分，则该函数在点 ) , ( y x 的偏导数 全微分为 、 必存在，且函数 ) , ( y x f z = 在点 ) , ( y x 的 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数偏导数存在(可导) 全微分存在（可微）． 例如， 则 当 时， 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 解 所求全微分 解 解 所求全微分 * 二元函数 对和对的偏微分 二元函数 对和对的偏增量 函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分. 定理2 如果函数在点可微分, 则函数在该点连续. 可微＝连续 故函数在点处连续. 在点处有 如果考虑点沿着直线趋近于， 说明它不能随着而趋于0, 函数在点处不可微. 定理4（充分条件）　如果函数的偏导数、在点连续，则该函数在点可微分． 例 计算函数在点处的全微分. 例求函数，当，，，时的全微分. 例 计算函数的全微分. 推论1　如果函数在区域D内有连续的一阶偏导数，则函数在D内可微。 推论2　对于初等函数而言，偏导数存在就一定可微。