三、万有引力定律及其应用.docxVIP

三、万有引力定律及其应用 1、探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”,在该轨道的P处通过变速在进入地月“转移轨道”,在快要到达月球时,对卫星再次变速,卫星被月球引力“俘获”后,成为环月卫星,最终在环绕月球的“工作轨道”上绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进行探测。已知“工作轨道”周期为T，距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其它天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响。 (1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应增大速度还是减小速度? (2)求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小； (3)求月球的第一宇宙速度。 2、宇航员到达某星球后,试图通过相关测量估测该星球的半径,他在该星球上取得一矿石,测得其质量为m0,体积为v0，重力为W，若所取矿石密度等于该星球平均密度，万有引力常量为G，该星球视为???形，请用以上物理量推导该星球半径的表达式。 3、如图所示为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图,首先在发动机作用下,探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停(速度为0,h1远小于月球半径),接着推力改变,探测器开始竖直下降,到达距月面高度为h2处的速度为v,此后发动机关闭,探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为m(不包括燃料),地球和月球的半径比为k1,质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求： (1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月球时的速度大小； (2)从开始竖直下降到接触月面时，探测器机械能的变化。 4、由三颗星体构成的系统,忽略其它星体对它们的作用,存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A. B. C三颗星体质量不相同时的一般情况).若A星体质量为2m，B. C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求： (1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T. 5、如图所示,卫星P绕地球做匀速圆周运动,周期为T,地球相对卫星的张角θ=60°.已知万有引力常量为G.求地球的平均密度。 6、开普勒1609年一1619年发表了著名的开普勒行星运行三定律，其中第三定律的内容是：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它于1687年发表在牛顿的《自然哲学的数学原理中》。 (1)请从开普勒行星运动定律等推导万有引力定律(设行星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动)； (2)万有引力定律的正确性可以通过“月?地检验”来证明： 如果重力与星体间的引力是同种性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那么，由于月心到地心的距离是地球半径的60倍；月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是重力加速度的1/3600. 试根据上述思路并通过计算证明：重力和星体间的引力是同一性质的力(已知地球半径为6.4×106m,月球绕地球运动的周期为28天,地球表面的重力加速度为9.8m/s2). 7、有人设想：可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时，借飞船需要减速的机会，发射一个小型太空探测器，从而达到节能的目的。 ? ? 如图所示，飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，其轨道半径为地球半径的3倍。当飞船通过轨道Ⅰ的A点时，飞船上的发射装置短暂工作，将探测器沿飞船原运动方向射出，并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动，其近地点B到地心的距离近似为地球半径R。以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面的重力加速度为g。 ? ? 若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为，式中G为引力常量。飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，以及探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和保持不变。 （1）若飞船的总质量为，求将其送入圆形轨道Ⅰ至少需要消耗多少能量（不考虑地球自转的影响）； （2）由开普勒第二定律可知，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比,求飞船通过A点速度大小。 （3）若飞船与探测器的质量之比为2：1，则探测器完全脱离地球的引力后，继续做宇宙航行的速度多大？