2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习配套课件-第五章 平面向量 5-3.pptVIP

§5.3　平面向量的数量积 [必威体育精装版考纲]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 __________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作_____________． 规定：零向量与任一向量的数量积为 ． 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两个非零向量a与b平行的充要条件是 ． |a||b|cos θ a·b＝|a||b|cos θ 0 a·b＝0 a·b＝±|a||b| 2．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝ ； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔ ； (3)当a与b同向时，a·b＝ ； |b|cos θ |a|cos θ a·b＝0 |a||b| (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__________________． 【思考辨析】 　判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) x1x2＋y1y2＝0 【答案】 (1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)× 1．(2015·北京)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 结合平面向量数量积公式进行分析判断． 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以当a·b＝|a||b|时， 有cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0°， 此时a，b同向，所以a∥b. 反过来，当a∥b时，若a，b反向， 则〈a，b〉＝180°，a·b＝－|a||b|； 若a，b同向，则〈a，b〉＝0°，a·b＝|a||b|， 故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件． 【答案】 A 2．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于(　　) A．150°　　　B．90° C．60° D．30° 【答案】 D 【思维升华】 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义． 【答案】 (1)A　(2)D 【思维升华】 解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法． 【温馨提醒】 解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算；然后确定解题策略，根据题目条件进行求解． ►方法与技巧 1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． ►失误与防范 1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b0，反之不成立．