高中数学1—3—1函数的单调性与导数课件新人教A版选修.pptVIP

1．3　导数在研究函数中的应用 1．3.1　函数的单调性与导数 ; 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会用导数法求函数的单调区间．; 本节重点：利用导数研究函数的单调性． 本节难点：用导数求函数单调区间的步骤．;1．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． 2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点． 3．注意在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0时，f′(x)＝0.;4．由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))的切线的斜率，在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每一点(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，则曲线在该区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则曲线在该区间内是下降的．;因此当区间(x1，x2)很小时，平均变化率可近似表示函数y＝f(x)在这个区间内的单调性． 6．如果函数f(x)在点x0附近，当x＜x0时f′(x)＜0，当x＞x0时f′(x)＞0，则点(x0，f(x0))我们称作临界点，通过画图你能观察出f(x0)与临近点函数值的大小关系吗？同样当x＜x0时，f′(x)＞0，当x＞x0时，f′(x)＜0，再画图观察f(x0)的值与邻近点的函数值之间有何关系？;7．我们注意到f(x)＝2x、g(x)＝3x、f′(x)＝2、g′(x)＝3有f′(x)＜g′(x)，画图可见，g(x)与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x)增长的快得多．自己再观察几个函数导数值的大小关系，你会发现，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间上或某点附近变化的快慢程度，导数绝对值越大，函数增长(f′(x)＞0)或减少(f′(x)＜0)的越快．;1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系 如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 ；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 ．如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为 ． 2．求函数单调区间的步骤 (1)确定f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是 ；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是 ．; [例1]　判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．;[解析]　∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性． [点评]　判断函数单调性的方法有两种： (1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函数的单调性； (2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．;[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．;[点评]　求函数单调区间时需注意： 1．步骤：;2．含有参数的函数求单调区间时注意正确运用分类讨论思想． 3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．;[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R f′(x)＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1) 令f′(x)＞0，则4x(x－1)(x＋1)＞0，解得－1＜x＜0，或x＞1， ∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)， 令f′(x)＜0，则4x(x－1)(x＋1)＜0，解得x＜－1或0＜x＜1， ∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)． (2)函数f(x)的定义域为(0，π) ∵x∈(0，π)，∴cosx∈(－1,1);∴f′(x)＝cosx－1＜0恒成立 ∴函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上是单调递减