数值计算方法第07章数值微分与数值积分材料.ppt

1 第七章 数值微分与数值积分 §1 数值微分 §2 Newton－Cotes求积公式 §3 复化求积公式 §4 Romberg求积公式 §5 Gauss型求积公式 2 3  利用离散点上函数的信息求函数导数近似值的方法, 称为数值微分.  差商型求导公式  插值型求导公式 §1 数值微分 4 由导数定义 当h很小时, 可用差商近似导数. 5  差商型求导公式  (3)中心差商公式  (1) 向前差商公式  (2) 向后差商公式 6  几何意义 B点切线斜率  从几何直观看: 中心差商效果最好 7  截断误差 其中 由Taylor公式可得 8  二阶导数的中心差商公式  截断误差 9 10 11 12 数值积分 一、数值积分的必要性 本章主要讨论如下形式的一元函数积分 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求函数 的原函数 ☞ 有解析表达式； ☞ 为初等函数． 13  实际问题 1. 的原函数 不能用初等函数表示 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的. 14 假若要求波纹瓦长4英尺, 每个波纹的高度(从中心线)为1英寸, 且每个波纹以近似 英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需 铝板的长度L. 从 到 英寸间的弧长L. 这个问题就是要求由函数 给定的曲线, 15 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为: 上述积分称为第二类椭圆积分。 16 类似的，下列函数也不存在由初等函数表示的原函数: 17 2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数: 并不复杂,但它的原函数却十分复杂: 18 3. 没有解析表达式，只有数表形式: 原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那…… 怎么办呢？ 呵呵…这就需要积分的数值方法来帮忙啦。 19 二、数值积分的基本思想 1、定积分的几何意义 20 2、数值积分的理论依据 依据积分中值定理, 对于连续函数 , 在 内存在一点 ,使得 称 为 在区间 上的平均高度. 21 3、求积公式的构造  若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下： 左矩形公式： 中矩形公式： 右矩形公式： 22 左矩形公式： 23 中矩形公式： 24 右矩形公式： 25 26 27 则可得Simpson公式(三点求积公式) 28  一般地 ，取区间 内 个点 处的高度 通过加权平均的方法近似地得出平均高度 这类求积方法称为机械求积: 29 或写成: 数值积分公式 求积系数 求积节点 30 记 （1） （2） 31 构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括: (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析. (ii) 确定衡量求积公式好坏的标准； 32 33  依据积分中值定理 就是说，底为ba 而高为 f ( ) 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形 f (x)的面积.  取[a, b]内若干个节点xk 处的高度 f (xk ), 通过加权平均的方法生成平均高度 f ( ), 这类求积公式称机械求积公式 式中 xk 称为求积节点, Ak 称为求积系数, 亦称伴随节点的权. 数值积分基本思想 34 §2 Newton-Cotes 公式 基本思想: 利用插值多项式 其中Ln(x)是n阶Lagrange插值多项式，用Ln (x)的积分近似 f (x)的积分，即 插值型求积公式 35 节点 f (x) 插值型求积公式 36 37 误差 38  当节点等距分布时： 注: Cotes 系数仅取决于 n 和 k，可查表得到. 与 f (x) 及区间[a, b]均无关.  39 n阶Newton-Cotes公式 (N-C公式) 40 Cotes系数表 n 1 2 3 4 说明: n  8时, Cotes系数中将出现负数, 此时求积公式不稳定, 实际计算不能采用. 每一行所有Cotes系数之和为1. 41 a b x f (x) L1(x) n = 1: 梯形公式 42 43 n = 2: a x1 x f (x) b h h L2(x) Simpson公式 44 Simpson公式 三次多项式近似 a x1 x f (x) x2 h h L(x) b h 45  代数精确度  设有