2012届华师一附中高一下学期课外基础训练题(九)---期中考试复习题--解三角形答案.docVIP

PAGE  PAGE 4 高一课外基础训练题（九） 1. 设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。 解：由，将代入, 得.由两角和与差的余弦公式展开得；又由，得，进而得.故。 当时，由，进而得，矛盾，应舍去。 2. △ABC中，若，试判断△ABC的形状. 解：由正弦定理：,∴2A = 2B 或 2A = 180° - 2B 即：A= B 或 A + B = 90°∴△ABC为等腰或直角三角形 方法二： 由题设：,化简：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) ∴(a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0,∴a = b或 a2 + b2 = c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形． 3. 在△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，若，, 求A． 解:∵，∴，即：，∴； ∵，∴，,于是：. 4. 如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端 C对于山坡的斜度为15°，向山顶前 进了100米后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m，求此山对于 地平面的斜度的倾角的余弦。 解：在△ABC中，∠BAC＝15°,∠CBA＝180°-45°＝135°，AB＝100 m　　 ∴∠ACB＝30°. 由正弦定理，得,∴BC＝, 又在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋，CD＝50 m. ∴,∴, 解得cos?＝-1. 5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，求b。 解：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c平方得a2+c2=4b2－2ac，又△ABC的面积为，且∠B=30°， 故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6∴a2+c2=4b2－12由余弦定理， 得cosB====，解得b2=4+2又b为边长，∴b=1+ 6. 在中，，，，求的值和的面积. 解: ，又 , , 7. 在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值： (II) 求sin的值 21世纪教育网 解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理， ,于是AB=. （Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=,于是 sinA=, 从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=,∴ ,sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=. 8. 在△ABC中，若，，，求a，b，c． 解：∵ ，∴ ，∵ ， ∴ ，,∴，即：， 解得：或（舍去，否则），∴，，。 9. 在中，角所对应的边分别为，， ，求及 解：由得,∴,∴, ∴，又,∴,由 得 ,即,∴,, 由正弦定理得. 10．已知的三个内角所对的边分别为,且. (Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)现给出三个条件：①；②；③.试从中选择两个条件求的??积. 解:(Ⅰ)由,得,所以. 则,所以. (Ⅱ)方案一：选择①③.∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0，所以，则根据余弦定理， 得，解得b=,则c=. ∴. 方案二：选择②③. 可转化为选择①③解决.选择①②不能确定三角形. 11．设锐角三角形的三内角、、的对边分别为、、，且 （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的取值范围。 解：（Ⅰ）在三角形中，由及正弦定理得 因为三角形是锐角三角形, （Ⅱ）因为在中, 且 ∴= .又 ∵、为锐角,且 ∴,所以的取值范围是. 12. 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为(-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向， 距A 2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速 度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？ 解：如图，设缉私船追上走私船所需要的时间为t小时， 则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝-1，AC＝2， ∠BAC＝45°＋75°＝120°,∴BC＝ 由正弦定理可得sinABC＝,∴∠ABC＝45°，∴∠CBD＝90°＋30°＝120° 又sinBCD＝,∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°,∴BD＝BC＝，则有10t＝，　　 ∴t＝＝0.245小时＝14.7分,∴缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟能追上走私船．