投针实验计算圆周率的数学分析.docVIP

投针实验计算圆周率的数学分析 ? 投针实验计算圆周率的数学证明方法，初中一般是采取假设针弯成直径等于平行线距离的方法巧妙证明。这个方法是基于不管针弯成什么形状，针上的每一个部位与平行线相交的概率相同，但这是感观上的认识，要把其中原因解释清楚不是很容易。笔者从纯数学的角度来推导这个公式。 ? 一、投针问题的由来 ? 1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。 这一方法的步骤是： 　　1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。 　　2) 取一根长度为的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m 　　3）计算针与直线相交的概率． 18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为的针???意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。”布丰本人证明了，这个概率是： ，π为圆周率。 ? 二、投针实验的数学证明 ? 投针这个动作是由两个事件构成的。 事件1：针投下后与平行线构成一定的夹角。 我们来分析一下针投下后与平行线之间的成某一特定夹角时的概率。 设针投下后与平行线之间的夹角为，则在0与之间。针与平行线之间的夹角在到+之间的概率为，当时，可看作针投下后与平行线之间成某一特定夹角为的概率。 事件2：针投下后会在平行线垂直的方向形成一个投影，针与平行线相交等于它的垂直投影与平行线相交。这个投影的长度在0到之间。 此时针在水平方向的投影为。再分析与平行线相交的概率。等于我们将问题转化成长度为的针，并且只允许它处在与平行线垂直的方向上，这时它与平行线相交的概率显然为： 因为每一次投掷都是由上述两个事件组成的，因而对于针与平行线之间的夹角在到+之间时，针与平行线相交的概率为这两个事件概率的乘积，即： 因为针与平行线之间构成的夹角在0－π之间每个角度的机会都是均等的，因此针与平行线相交的概率相当于针落在每个附近范围内，当时与平行线相交的所有概率之和。这个概率可用下列定积分表示，并可求出这个定积分的值为： 这是一个有趣的结论，当实验用针的长度时，针于平行线相交的概率就是。笔者还用计算机模拟了这个实验，证实经过4万次投掷，算出的π值误差小于万分之二。 ? ? 参考文献： [1] 蒲丰投针问题?  HYPERLINK /view/1037888.htm /view/1037888.htm [2] 投针实验  HYPERLINK /view/4154b0eb81c758f5f61f6786.html /view/4154b0eb81c758f5f61f6786.html ?