常微分方程初值问题数值解法讲解.ppt

第六章 常微分方程初值问题的数值解法;一、欧拉法：;2.数值求解方法：;6.1 欧拉方法;误差;例6.1 以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题;6.1.2 梯形公式与改进欧拉公式;欧拉公式是显示格式，而梯形公式也是隐式公式，在求 是 要解一个函数方程（不方便）。因此我们利用将梯形公式与欧 拉公式联合使用，先用欧拉公式求得一个初步近似值 ，称 为预报值，然后代入梯形公式右边，得到 ——校正值。;用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算，即采用下式;例6.2 仍取步长h = 0.1，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的 常微分方程初值问题。;6.2 计算公式的误差分析;截断误差的估计(基本假设： yi = y( xi ) );（3）对梯形公式，注意到其公式可改写为;（4）对改进欧拉公式，有; 定义6.2 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法的??部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或称该方法为 p阶方法。 ;6.3 龙格-库塔方法;6.3.1 二阶R-K公式;而;6.3.2 四阶 R-K 公式;这时经典R-K公式为;6.3.3 步长的自动选择;——用h与h/2两次计算结果的差来检验截断误差。; 记 ，则对给定的精度要求? ，可根据 按如下方式调整步长：