第二章連续系统的时域分析.pptVIP

第二章 连续系统的时域分析 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.1 LTI连续系统的响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质 元件端口的电压与电流约束关系 对于一个线性系统，其激励信号x(t)与响应函数y(t)之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述 上式就是一个常系数 n 阶线性常微分方程。 §2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 此方程的完全解由两部分组成，这就是齐次解和特解。齐次解应满足 特征方程为 1）特征根为单根，微分方程的齐次解为 下面讨论求特解的方法，特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励信号代入微分方程的右端，代入后的函数式称为“自由项”。 自由项 特解 例2.1求微分方程y (t)+5y (t)+6y(t) = f(t) 1)当f(t) = 2e-t, t≥0; y(0)=2, y (0)=-1时全解 ； 2)当f(t) = 2e-2t, t≥0; y(0)=1, y (0)=0时全解 。 解:1)特征方程为λ2+5λ+6=0 特征根λ1＝-2，λ2＝-3 齐次解yh(t)=c1e-2t+c2e-3t 当f(t)=2e-t 时特解为 yp(t)=pe-t 代入得pe-t-5pe-t+6pe-t=2e-t p=1 全解为y(t)=c1e-2t+c2e-3t +e-t y(0)= c1+c2 +1=2 y (0)= -2c1-3c2 -1=-1 c1=3 c2=-2 可得：y(t) = 3e-2t - 2e-3t + e-t, t≥0 齐次解 特解 自由响应 强迫响应 2)齐次解仍为yh(t)=c1e-2t+c2e-3t 当f(t)=e-2t 时特解为 yp(t)=p1te-2t +p0e-2t 代入得(4p1-10p1+6p1)te-2t+(-4p1+4p0+5p1-10p0+6p0)e-2t=e-2t p1=1 全解为y(t)=c1e-2t+c2e-3t + te-2t + p0e-2t 其一阶导数y (t)=-2(c1+ p0)e -2t -3c2e-3t + e -2t -2 te-2t 代入初始条件得：y(0)=c1+c2+ p0＝1 y (0)=-2(c1+ p0) -3c2 + 1＝0 c1+p0=2, c2= -1 得微分方程的全解y(t)=2e-2t-3e-3t + te-2t ,t≥0 全响应中随时间衰减的分量称为瞬态响应，不随时间衰减的部分是稳态响应 如P43例 全响应＝零输入响应＋零状态响应 ＝自由响应＋强迫响应 ＝瞬态响应＋稳态响应 不能区分自由响应和强迫响应 二、关于0+与0-初始值 为了确定待定系数所需的初始值y(0)、 y (0)等都是指t= 0+时刻的值。而t＝ 0-时激励尚未接入，才真正反映系统的初始情况。而且比较容易求得。因此解LTI系统微分方程时需要由y(j)(0-)求出y(j)(0＋) 。 例2.2 y (t)+3y (t)+2y(t) =2 f (t)+6 f(t)已知y(0-)=2, y (0-)=0, f(t)=ε(t) 求y(0+)、 y (0+) 。 解：将f(t)代入得 y (t)+3y (t)+2y(t) =2 δ (t)+6 ε(t) 对等式两边求积分得： a=2 y(0+)=y(0-)=2 y (0+) = y (0-) +2=2 三、零输入响应和零状态响应 LTI系统的全响应y(t)可以分解为零输入响应yzi(t)和零状态响应yzs(t) 。即y(t)= yzi(t) +yzs(t) 。 用经典法求零输入和零状态响应时需要用响应及其各阶导数的初始值来确定待定系数。 y(j)(t)=y(j)zi(t)+ y(j)zs(t) y(j)(0+)=y(j)zi(0+)+ y(j)zs(0+) y(j)(0-)=y(j)zi(0-)+ y(j)zs(0-) 对于零状态响应，由于t=0-时激励尚未接入，故 y(j)zs(0-)=0 y(j)(0-)=y(j)zi(0-) 例2.3某LTI系统的微分方程为y (t)+3y (t)+2y(t) =2 f (t)+6 f(t)已知y(0-)=2, y (0-)=0, f(t)=ε(t) ，求该系统的零输入响应和零状态响应。 解：1）零输入响应 yzi (t)+3yzi (t)+2yzi(t) =0 特征根λ1＝-1，λ2＝-2 故零输入响应yzi(t) ＝ c1e-t+c2e-2t 对于零输入响应，由