第十六讲矩阵的相似对角化.docVIP

授课时间第 周 星期 第 节课次16授课方式 （请打√）理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□课时 安排2授课题目（教学章、节或主题）： 第十六讲 矩阵的相似对角化教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 掌握矩阵相似的定义；了解矩阵相似的性质；了解对称矩阵的性质；掌握对称矩阵的对角化. 教学重点及难点： 重点：矩阵相似对角化的判断及性质；对称矩阵的对角化. 难点：矩阵相似对角化的判断；对称矩阵的对角化.教 学 基 本 内 容备注一、相似矩阵 1、定义：对于阶方阵和, 若有可逆矩阵使得,则称相似于, 记作，称为由到的相似变换阵． (1) ： (2) ： (3) 2、性质： 性质1：相似矩阵具有相同的特征多项式、特征值与行列式． 证：由可得 性质2：若阶矩阵与对角阵 相似，则即是的个特征值. 性质3：可逆, 可逆, 且． 性质4： （为正整数）． 性质5：为多项式, ． 例1：若可逆,证明同阶方阵，有． 证： 二、矩阵的（相似）对角化问题 对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使为对角阵，这就称为把矩阵对角化. 定理4：阶矩阵与对角矩阵相似（即能对角化）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量. 推论：如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与与对角阵相似. 例2：设，问为何值时，矩阵能对角化？ 解： 得 对应单根，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵可对角化的充分必要条件是对应重根，有2个线性无关的特征向量，即方程有2个线性无关的解，亦即系数矩阵的秩.由 要，得，即. 因此，当时，矩阵能对角化. 三、对称矩阵的对角化 定理5：对称阵的特征值为实数. 定理6：设是对称阵的两个特征值，是对应的特征向量.若，则与正交.. 定理7：设为阶对称阵，则必有正交阵，使，其中是以的个特征值为对角元的对角阵. 推论：设为阶对称阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量. 依据定理7及推论，我们有下述把对称阵对角化的步骤： 求出的全部互不相等的特征值，它们的重数依次为. 对每个重特征值，求方程的基础解系，得个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单位化，得个两两正交的单位特征向量.因，故总共可得个两两正交的单位特征向量. 把这个两两正交的单位特征向量构成正交阵，便有.注意中对角元的排列次序应与中列向量的排列次序相对应. 例3：设 求一个正交阵，使为对角阵. 分析：（1）先求出特征值； （2）再对应的特征值求出特征向量； （3）同时对同一特征值的特征向量组正交化及单位化； （4）最后由正交化、单位化的特征向量构成正交阵. 例4：设 求.  作业：1、复习P121-127；2、预习P17-131?； 3、习题：P135：15，16, 19(1)教学后记：