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PAGE  PAGE 64 第五章 数学概念、命题与问题解决教学 [教学目标] 了解数学概念的意义和结构，概念的定义和分类；理解数学概念之间的关系、定义方式、定义的规则以及分类的基本方法和规则，使学生明确数学概念教学的重要性、基本要求，并对概念教学进行若干教法探讨。 [学时] 8 [教学方法] 课堂讲解；课外阅读 [重点、难点] 数学概念的意义、定义方式和分类的基本方法；定义的规则，分类的规则，概念的限制与概括 [教学过程] §5.1 数学概念及其教学 一、数学概念(Mathematical Concept)的意义和结构 概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式—判断、推理—是有密切联系的。人们必须先具有关于某事物的概念。然后才能作出关于某事物的判断、推理。概念是判断推理的基础。另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识，又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。科学史表明：“科学是与概念并肩成长起来的”。 概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的理解和掌握。 1、数学概念的意义 [引题] 师问：“等式是不是方程？” 生答：“不是。”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论x取什么数，等式都成立，可以这个等式不是方程。” 师问：“什么叫方程？” 生答：“含有未知数的等式叫做方程。” 师问：“等式含有未知数吗？” 生答：“含有未知数x，这是方程。原来我认为含有未知数的恒等式不是方程，这是不对的。” 师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根?” 生答：“有无穷多解。” 师问：“对。有的方程有有限个解，例如：x +1=0只有一个解；有的方程无解，例如: 在实数范围内无解；有的方程有无穷多解，方程就是一例。” ——以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。 什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起。 （1）属性： 在客观世界中，存在着许许多多的事物，每一事物都有本身的性质和其他事物之间存在一定的关系。事物的性质和事物之间的关系统称为事物的属性。 （2）特征： 事物和属性是不可分的，具有相同属性的事物构成一类。属性不同的事物就形成不同的类。事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，就是事物的特征。 （3）本质属性： 在一类事物的许多属性中，对该事物具有决定意义的，即决该事物之所以成为该事物并区别于其它事物的属性，统称为事物的本质属性。 例如：能思维、能制造并使产用生产工具的动物是人的本质属性。平面内到定点的距离等于定长的点的集合，是圆的本质属性，有长度是圆的非本质属性。 （4）概念： 概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。 掌握概念，实质上就是要理解一类事物的共同的本质属性。即使符号代表一类事物而不是特殊事物。 为了达到掌握概念，可以利用学习者认知结构中原有的概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的本质属性，这种使学习者获得概念的方式叫概念同化。 但是，在数学教学中，由于学生年龄因素，他们已有的认知结构简单，知识经验具体而贫乏，有时概念同化的方式对他们学习概念是不合适的。只能从大量的具体例子出发，从他们实际经验或数学现实中，以归纳的方式抽取一类事物的共同的本质的属性，从而获得某些概念。 概念的形成—参见：曹才翰《中学数学教学概论》，北京师范大学出版社，1992年，P.279. 所以掌握概念的典型方式是概念的形成。概念是如何形成的呢？ 人们又对客观事物的认识，一般是通过感觉、知觉形成印象（建立观念），在此基础上，运用比较、分析、综合、抽象、概括等方法，逐渐认识抽象出事物的本质属性和特征，并借助词语形成反映该事物的概念。 如：自然数产生于计数。 “数”与某具体的事物联系在一起，“5——五头羊，五个手指头”抽象出数量的共同特征。 （5）数学概念：数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学是关于模式与秩序的科学。数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式，在数学中，每一数学概念通常用一个特有的名称或符号来表示。 例如：“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆的本质属性；?O表示以O为圆心的圆；sinx表示正弦函数；“方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。 数学概念的产生与发展有各种不同的途径： ①从现实模型中直接反映得来：几何中的点、线、面、体——从物体的形状、位置、大小关系等概括出来；自然数——从手指数和其他单个事物排列次序抽象出来。 ②在一些相对具体的概念上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的：复数←实数←实数←有理数←自然数概念。 ③人们的思维加工，把客观事物理想化、纯粹化得来：直线的“直”和“可以无限延伸”。 ④数学内部需要产生——诸多“规定”：任何数乘以0的积为0；又