“线性代数”考研辅导讲义6.docVIP

第六部分 二次型 第  PAGE 4 页 共  NUMPAGES 4 页 《线性代数》考研辅导讲义6 第六部分 二次型 一.二次型的概念 1.二次型 其中. 2.二次型的矩阵表示式 令二次型的矩阵,,则二次型的矩阵表示式. 二次型的秩. 二.二次型化成标准形 1.二次型的标准形及规范形 ①二次型的标准形,其矩阵为. ②二次型的规范形.其中为二次型的正惯性指数,为二次型的正惯性指数,为二次型的秩.(惯性定理). 2.二次型化为标准形 (1)配方法 (2)正交变换法 定理 对实二次型,存在正交变换,将二次型化成标准形 其中为的特征值. [注意]用正交变换化二次型为标准形的步骤: (1)求的特征值; (2)对的特征值,求属于的两两正交且单位化的特征向量; (3)将的两两正交且单位化的特征向量作为正交矩阵的列向量组,得正交变换;并写出二次型的标准形. 三.正定二次型,正定矩阵 1.正定二次型与正定矩阵的定义 2.正定二次型与正定矩阵的判别定理 实二次型正定(实对称矩阵正定)的正惯性指数等于 的特征值全大于零 的顺序主子式全大于零 存在可逆矩阵,使得. 典型例题 例1 设的个列向量线性无关,则必为( ). (A)正定矩阵 (B)实对称但非正定矩阵 (C)正交矩阵 (D)反对称矩阵 解 选(A). 例2 已知二次型为正定二次型,则应满足 . 解 利用霍尔维茨定理.答案: . 例3 设为阶实对称矩阵,证明: 为正定矩阵的充分必要条件是与单位矩阵合同. 证 必要性: 为正定矩阵, 必为实对称矩阵,存在正交矩阵,使得 , 又正定,故. 令,则 . 令,则可逆,且,即与单位矩阵合同. 充分性: ,则为实对称矩阵.任给,且 , 所以为正定矩阵. 例4 设为阶非零矩阵,且,证明为正交矩阵. 证 只需证.令,则.因为为阶非零矩阵,则存在.又. 例5 设均为阶实正交矩阵,且,求. 解 由正交,则也是正交矩阵,同理也是正交矩阵. 所以. 例6 设为阶实对称矩阵, .求 (1)二次型的标准形; (2) . 解 (1)设为的特征值,则.又为实对称矩阵,则存在正交矩阵,使得 , 其中为的特征值. 由知, 中有个1, 个0,故 , 所以二次型的标准形 . (2)由.又,则 . 例7 设. (1)求一个正交变换,将化成标准形,并指明表示什么曲面? (2)求平面被曲面所截下的部分的面积. 解 (1)二次型的矩阵为 , 其特征值. 对应的线性无关的特征向量为,正交规范化得 . 对应的线性无关的特征向量为,单位化得. 令正交变换,则表示圆柱面. (2) 由(1)得,经正交变换,平面为,故平面被曲面所截下的部分的面积为.