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扭结、不变量和Jones多项式及其在分子生物学中的应用;讲座内容;1. 扭结、链环的定义和例子; 直觉上我们会认为上面的两个绳结应该不同。如果固定绳头两端（即不许把绳头抽回重穿），你没法把左边的绳结变到右边的绳结。否则，则不然。因此研究绳结时，应该把两端固定。通常的作法是把两端系在一起，得到所谓的扭结，如下图所示：; 扭结的定义：三维欧氏空间中的连成一体的（连通的）、封闭的（没有端点的）、没有粘连的（自己与自己不交的）一条曲线就称为一个扭结。 数学上扭结的定义：把单位圆周到三维欧氏空间中的一个嵌入称为一个扭结。 把单位圆周嵌入到平面上，得到的扭结是一个（拓扑）圆盘的边界，这样的扭结称为平凡扭结。;简单扭结的例子： ;更多的例子; 链环：空间中由有限个互不相交的扭结组成的几何对象就称为一个链环。 这样，扭结就是只有一个分支的链环。 链环的例子： ; 说到扭结，不能不提到拓扑学。实际上，扭结理论是拓扑学的一个重要分支。但什么是拓扑学? 拓扑学是数学中容易定义却又不太容易理解的分支。简单地说，拓扑学是研究几何对象在连续变形下保持不变的性质的学问。直观地说，所谓“连续变换”（也叫拓扑变换，或同胚）就是使几何对象受到弯曲、拉伸、压缩、扭转或它们的任意组合。这里理想地假设受到变形的几何对象具有弹性，能充分地经受这样的操作。下面和拓扑性质有关的几个有趣的问题:;一笔画问题 一笔画问题是一个简单的数学游戏. 简单地说,就是问：平面上一个由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？ 易知，汉字“日”、“中”都可以一笔写出，而“田”和“目”都不能一笔写出。 显然，图形能不能一笔写出与图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和他们之间的连接关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构。;著名的七桥问题：流经哥尼斯堡的普雷格河的河弯处有两个小岛，有七座桥连接了两岸和小岛。当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次。见下图： ;很长时间没有人能做到。后来大数学家 Euler研究了这个游戏，他把这个游戏变成右边的图形能不能一笔画成的问题，并且他证明了该图形是不能一笔画成的。 地图着色问题：给地图着色是要把相邻的国家（或区域）着上不同的颜色，以便容易加以区分。那么，绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色？ 显然，地图着色问题与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状无关，关键是区域的个数和他们之间的邻接关系。地图经过变形（缩放或各种投影）后所需颜色数不变。;Euler多面体定理：凸多面体的面数f、棱数l和顶点数v满足Euler公式 f-l+v=2 实际上， Euler多面体定理可以推广到球面上的图形，只要该图形满足如下条件： 每条弧的端点互不同 不同的弧若相交，只交于端点 每条弧不自交。;以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质，他们涉及到图形在整体结构上的性质，这就是所谓的“拓扑性质”。拓扑性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等都无关，也就不能普通的几何方法来处理。专门研究几何图形的拓扑性质的数学分支就是拓扑学。拓扑学通常被形象地成为“橡皮几何学”，因为它研究的拓扑性质在图形作弹性变换时是不会改变的。 拓扑魔术：下面是一个橡皮泥模型，如何解开相互套在一起的环？;象上述那样简单的作法谁都会,没什么希奇。如果不断开，你能从左上变到右上吗？;答案：;2.扭结（链环）的等价、投射图和Reidemeister定理;扭结的表示：对于一个确定的扭结K，在空间中取一个平面P，考虑K在P上的投影图。适当地在空间中挪动K，使得投影图满足以下条件： 1 只有有限个重叠点 2 每个重叠点都是二重点 3 在每个二重点，上下两线交叉穿越，在上面的线用实线表示，在下面的线用实线在交叉点附近断开表示 这样一个投影图就称为K的一个标准投影图，或简称为投影。显然，总可以得到一个扭结（及类似地，链环）的（不止一个的）标准投影图。; 扭结和链环可以用投影图来确定。但一般说来，等价的扭结（或链环）可以有不同的投影图。例如， ;容易知道,对扭结(或链环)的一个投影图作如下三种变换,不改变对应的扭结(或链环):;上述三种变换也称为投影图的基本（或初等）变换.;3.扭结理论及历史回顾; 由于扭结与链环既直观又充满奥妙，扭结理论有通俗易懂妙趣横生的一方面，又有极其深刻的内涵，并且与分子生物学、理论物理等自然科学领域密切相关，扭结理论近年来成为数学上特别璀璨的明珠。 扭结理论的基本问题： 任给两个扭结（或链环），怎样识别它们是否相同？ 特别地，任给一个扭结（或链环），怎样识别它是否等价于一个平凡扭结或平凡链环（能够嵌入到平面上的链环）