向量组线性相关习题.pptVIP

第四章 向量组的线性相关性;向量的相等; 负向量; 零向量.;(1) 加法交换律: a +b = b + a ; (2) 加法结合律: (a +b ) + g = a + ( b +g ) ; (3) 对任一向量a , 有a +O = a; (4) 对任一向量a, 存在负向量–a , 有a +(–a ) = O ; (5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对向量加法的分配律: k( a + b ) = ka + kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) a = ka + l a ;;除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质:; 定义: 给定向量组A: ?1, ?2, ···, ?m, 对于任何一组实数k1, k2, ···,km, 向量 k1?1 + k2?2 + ··· + km?m 称为向量组A: ?1, ?2,···, ?m一个线性组合, k1, k2, ···,km称为这个线性组合的系数.; 定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(?1, ?2, ···, ?m)与B=(?1, ?2, ···, ?m, b)的秩相等.;四、线性相关性; 定理3: 向量组?1, ?2, ···, ?m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(?1, ?2, ···, ?m)的秩小于向量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.;即?j 添上一个分量后得向量?j. 若向量组A: ?1, ?2, ···, ?m线性无关, 则向量组B: ?1, ?2, ···, ?m也线性无关; 反言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.; 定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量 A0: ?1, ?2,···, ?r, 满足 (1)向量组A0: ?1, ?2,···, ?r, 线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关. 那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组). 最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩.; 定理2: 设向量组B能由向量组A线性表示, 则向量组B的秩不大于向量组A的秩, 即 R(B)?R(A).;六、向量空间;七、子空间;九、齐次线性方程组; 定义: 如果向量组?1, ?2, ···, ?t 为齐次线性方程组Ax = 0的解空间的一组基, 则向量组?1, ?2, ···, ?t 称为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系.;求齐次线性方程组的基础解系; 2. 将第r+1, r+2, ···, n列的前r个分量反号, 得解?1, ?2, ···,?n-r的前r个分量:;　　3. 将其余n–r个分量依次组成 n–r 阶单位矩阵, 于是得齐次线性方程组的一个基础解系:;十、非齐次线性方程组; 当dr+1?0???, 则方程组 Ax=b 无解; 否则, 得齐次线性方程组Ax=0的基础解系?1, ?2, ···,?n-r和非齐次线性方程组Ax=b的一个特解: ?*=(d1, d2, ···, dr , 0, ···, 0)T.;一、向量组线性相关性的判定;整理得齐次线性方程组:;方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;整理得齐次线性方程组:;解二: 构造矩阵; 例2: 设向量组?1, ?2, ··· , ?r (r ?2)线性相关, 证明: 存在不全为零的数 t1, t2, ···, tr , 使得对任何向量?, 都有 ?1 + t1?, ?2 + t2?, ··· , ?r + tr ?, 线性相关.; 证明: 因为向量组?1, ?2, ··· , ?r 线性相关, 所以, 存在不全为零的数k1, k2, ···, kr , 使得 k1?1 + k2?2 + ··· + kr?r = 0.;二、求向量组的秩;例3: 求向量组;故, R(A)=3, 从而向量组?1, ?2, ?3, ?4, ?5的秩为3.;三、基础解系的证法; 证明: 设?1, ?2, ···, ?t是方程组Ax=0的一个基础解系, ?1, ?2, ···,?m是与?1, ?2, ···, ?t等价的线性无关的向量组. 由于等价的线性无关向量组所含向量个数相同,所以, 这两个向量组所含向量个数相等, 即 m = t .;(2) 由题设知, ?1, ?2, ···,?t 是线性无关的.;五、解向量的证法; 由于?1, ?2, ···, ?n–r 是其对应齐次线性