专题二三角函数和平面向量的综合应用.pptVIP

* * 专题二　三角函数与平面向量的综合应用 基础知识自主学习 要点梳理1．同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力．通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点． 2．研究三角函数的性质，一般要化为f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A0，ω0)的形式，若是奇函数，则可化为f(x)＝±Asin ωx；若是偶函数，则可化为f(x)＝±Acos ωx.求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y＝sin x与y＝cos x的单调区间． 3．解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4．平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性． [难点正本　疑点清源] 1．三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y＝Asin(ωx＋φ) (A0，ω0)的形式，再研究其性质． 2．向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别．要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用． 题型分类深度剖析 题型一　三角函数的化简求值问题 例1　求·的值． 思维启迪从角、函数名称、式子结构入手找其特征，构造“相消”、“约分”或构造特殊角． 解　原式＝· ＝· ＝· ＝· ＝＝＝16. 探究提高　若α＋β＝π，则sin α＝sin β；若α＋β＝，则sin α＝cos β，注意这类关系，能快捷地解这类问题． 变式训练1 已知0α，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m.求的值． 解　∵＝，b＝(cos α，2)， ∴a·b＝tan·cos α－2＝m， ∴tan·cos α＝m＋2.∵0α， ∴＝ ＝＝2cos α· ＝2cos α·＝2cos α·tan＝2(m＋2)． 易错分析　本题虽以向量给出，实则是三角函数的化简求值问题．第一步向量的转化是易错点，注意避免． 题型二　三角函数的图象和性质 例2已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (A0，ω0，|φ|)，若该函数图象上的一个最高点坐标为，与其相邻的对称中心的坐标是. (1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式； (2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x的集合． 思维启迪由图象最高点为得x＝时，ymax＝3.由最高点与其相邻的对称中心坐标为，得周期的为. 解　(1)由题意知A＝3，T＝－＝， 所以T＝π，ω＝＝2.y＝3sin(2x＋φ)， 又由2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，得φ＝2kπ＋，k∈Z.因为|φ|，所以φ＝. 所以y＝3sin，x∈R. (2)由(1)知，函数的最小值为－3； 由2x＋＝2kπ－，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z， ∴函数取得最小值时自变量x的集合为. 探究提高　φ)就是确定其中的参数A，ω，φ，从图象的特征上寻找答案，A主要由最值确定，ω是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，如相邻两个最大、最小值点相差半个周期，φ可由点在函数图象上求得，确定φ值时，注意它的不惟一性．如果函数的最大值与最小值不互为相反数，说明解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．设最大值为m，最小值为n，则A＋k＝m，－A＋k＝n，从而A＝，k＝. 变式训练2 (2010·山东)已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0φπ)，其图象过点. (1)求φ的值； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ ＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)＝cos(2x－φ)． 又∵f(x)过点，∴＝cos，cos(－φ)＝1. 由0φπ知φ＝.(2)由(1)知f(x)＝cos.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g(x)＝cos(4x－)．∵0≤x≤，∴－≤4x－≤. 当4x－＝0，即x＝时，g(x)有最大值； 当4x－＝，即x＝时，g(x)有最小值－. 题型三　平面向量与三角函数 例3　已知向量＝，n＝. (1)若m·