09第6章正态随机过程.pptVIP

第五章： 正态随机过程;定义： 如果对一个随机过程任意选取n个时刻,则得到n个相应的随机变量, 若此n个随机变量的联合分布都是n维正态分布，则称随机过程X(t)是正态随机过程（高斯过程）。;随机变量的特征函数 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。;一、特征函数的定义 设 为随机变量，称 的数学期望为随机变量 的特征函数。记为 ;例题： 解： ;二、性质 1） 2）X的特征函数为 ，则Y=aX+b的特征函数为： ;例题： 构造 其中;3）矩定理;证明：;三、多维随机变量的特征函数 1）定义;2）性质 1、若X1，X2 统计独立，则： 推广到n个 解：; 2、边际特征函数 推广到n个 解： ;3、已知;一维正态随机变量的概念： 一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为;二维正态随机变量的概念： 若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为;二维正态分布的协方差矩阵可表示为;二维正态随机变量的联合密度也可表示为;n维正态随机变量的定义： 若n维随机变量的联合密度函数为;n维随机变量的性质;2、 的特征函数为;由性质1可以知道： 为n维独立随机变量， ;由特征函数线性变换的性质，对于 ;3、n元正态分布中任意m维子向量亦为正态分布(mn);则:;4、n元正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。 即若 为正态随机向量，则 亦为正态随机向量。;5、若 为n维正态随机变量，那么X1,X2, …,Xn相互独立的充要条件是两两互不相关。 ;;实际上，若：;正态随机过程定义： 若随机过程X(t)的任意n维分布都是n维正态分布，则称X(t)是正态随机过程（高斯过程）。; 若正态过程为宽平稳过程，则mX(t)=a为常数，RX(tk,ti)= RX(tk-ti). 任取n个抽样时刻t1,t2,…tn，这n个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为B，其任意一元素 bki=RX(tk-ti)-a2=b(tk-ti),则该n个正态变量对应的特征函数为： ; 若把n个时间抽样点作一个时间平移h,即取抽样时刻为t1+h,t2+h,…tn+h,则平移后的对应的n??正态分布的随机变量的特征函数为： ; 高斯过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。 若系统输入端的随机过程为非高斯过程，只要输入随机过程的等效带宽远大于系统的通频带，系统输出端得到正态随机过程。 平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布认为正态随机过程。;例题1： 设平稳正态过程X(t)均值为0，相关函数RX(τ)=(e-2|τ|)/4，求对给定时刻t，X(t1)的值在0.5和1之间的概率。 解：;;例题2： X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中A与B为两个独立的正态随机变量，且EA=EB=0，EA2=EB2=σ2，w0为常数，求X(t)的一维，二维密度函数。 解：;或者;或者;作业