1.1-1.2二阶与三阶行列式.ppt

第一章　行列式 制作人：王小双 一、全排列 2．不同n阶排列的总数 * * 一、二阶线性方程组与二阶行列式 1、二元线性方程组 解得 2、二阶行列式的定义： 主对角线 副对角线 说明：二阶行列式的值等于主对角线上元的积减去副对角线上元素的积. ① ② 3、利用二阶行列式计算二元线性方程组 解得 令 说明： D是方程组的系数所确定的二阶列式（称系数行列式） D1是常数b1、b2替换方程组中x1前的系数所确定的行列式 D2是常数b1、b2替换方程组中x2前的系数所确定的行列式 练习1：求解二元线性方程组 练习2： 小结： （1）二阶行列式的定义及计算方法（相当于“十字相乘法”或“主对角线减副对角线” （2）用二阶行列式计算二元线性方程组（D、D1、D2分别表示什么及公式 二、三阶行列式 1、定义：（三阶行列式）设有9个数排成三行三列的数表 记 （1） 则称（1）式为数表所确定的三阶行列式 2、说明： （1）三阶行列式含6项 （2）每项均为不同行不同列的三个元素的相乘再加上正、负号； （3）记忆方法： 对角线法则 (+) (–) 或 (+) (–) 例1：计算三阶行列式 解：按对角线法则有 练习： 例2：求解方程 解： 例: 求解三元线性方程组 解: 它的系数行列式为 所以 练习： 小结： （1）三阶行列式的对角线性方则 （2）二阶、三阶行列式是研究更高行列式的基础，对角线法则只适合二阶、三阶行列式；对于更高的行列式就没法适合。 1. 排列: 将n个数1,2,…, n按某种顺序摆成一排， §2 n阶行列式 称为这n个数的一个n阶排列。 例 2 4 3 1　 4阶排列； 4 5 3 2 1 5阶排列； 1 2 3 … n n阶排列，称为自然排列； n (n –1) … 1 n阶排列。 二、n个元的不同排列的总数 1、举例： 我们先看3个元的排列共有多少个？ 123 132 213 231 312 321 3种放法 2种放法 1种放法 共有： 用1,2, …, n这n个数字，可以组成多少个不同的n阶排列？ 共有 n 种放法 n-1 种放法 n-2 种放法 3 种放法 2 种放法 1 种放法 ● ● ● ● ● ● 二、n个元的不同排列的总数 1、举例： 我们先看3个元的排列共有多少个？ 123 132 213 231 312 321 3种放法 2种放法 1种放法 共有： 例 5阶排列 3 1 4 2 5 中，3 1,3 2,4 2都构成一个逆序。 的数，则称这两个数构成一个逆序。 1. 逆序: 2. 逆序数： 在n阶排列中，如果某两个数的前后位置 与它们的大小相反，即前面的数大于后面 一个排列中逆序的总数称为逆序数。排列j1 j2 … jn的逆序数记为τ(j1 j2 … jn)。 计算逆序数的方法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。 三、逆序数 例 排列3 1 4 2 5 的逆序数为 τ(3 1 4 2 5 )=0+1+0+2=3 自然排列1 2 3 … n的逆序数是0； 排列n (n –1) … 1的逆序数为 3. 奇偶性: 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列。 排列3 1 4 2 的逆序数为τ (3142 )=0+1+0+2=3 排列3 1 4 5 2 的逆序数为 τ (31452 )=0+1+0+0+3=4 四. n阶行列式的定义 1、引入 三阶行列式的定义： （1）上式共有6项，每一项都是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行列； （2）每一项元素的行坐标以自然次序排列，所以每一项在不考虑正、负号的情况下可写成 （3）每项前的正负号刚好为 ，t为 的逆序数相同。 其中t为排列 的逆序数， 表示对1,2,3三个数的所有排列 取和。 二、n阶行列式的定义 定义： n阶行列式 列标 行标 即 表示对所有排列j1 j2 … jn求和。 例1、下列乘积项中，哪些可以构成相应阶行列式中的项？ 解 1） 不能构成。 2）可以构成。 因为 故该项符号为正，可以构成6阶行列式中的项。 重排为 乘积项中有两个第1列的元素； 例2、证明：n阶行列式 其中未写出的元素全为0 对角形行列式 证明： 证明： 其中t为排列n(n-1)?21的逆序数 分析: 乘积项 例 计算下三角行列式 …… 解: *