“高等代数”考试大纲.docVIP

《高等代数》“专升本”考试大纲 适用专业：数学与应用数学(专升本)， 信息与计算科学(专升本) 适用教材：北大数学系编《高等代数》 多项式 1、理解数域的概念；掌握连加号Σ的应用。 2、理解和掌握一元多项式的定义、运算及运算性质，多项式的整除、互素的概念及性质，最大公因式的概念，多项式的带余除法和辗转相除法。 3、理解和掌握因式分解与数域的关系，不可约多项式、重因式，多项式函数的概念，因式分解及唯一性定理，复系数多项式与实系数多项式的因式分解定理及标准分解式，有理系数多项式不可约的判定（艾森斯坦因判别法）。 4、理解多元多项式的定义及运算，对称多项式与基本对称多项式的概念，根与系数的关系，对称多项式基本定理。 第二章 行列式 1、理解排列、逆序、奇偶排列的概念；掌握对换与排列的关系。 2、理解和掌握n级行列式的定义、基本性质，矩阵的概念及矩阵的初等变换；熟练应用基本性质计算n级行列式。 3、理解和掌握行列式按行（列）展开，拉普拉斯展开及行列式乘法规则，余子式与代数余子式的概念，范德蒙行列式，克兰姆法则及其应用。 第三章 线性方程组 1、掌握线性方程组的消元法 2、理解和掌握n维向量的定义、基本运算和运算的性质,向量组的线性相关性和线性无关性及其判定,向量组的极大线性无关组、秩及其等价关系,矩阵的秩及充要条件。 3、掌握线性方程组有解判别定理；齐次线性方程组解的结构和基础解系；非齐次线性方程组解的结构 4、了解二元高次方程组的结式及其解法。 矩阵 1、掌握矩阵的概念、运算和运算规律，几种特殊矩阵（对角矩阵、对称（反对称）矩阵、数量矩阵等），矩阵乘积的行列式与秩。 2、理解和掌握可逆矩阵的定义及简单性质，伴随矩阵及求逆矩阵的方法，克兰姆法则的矩阵形式。 3、理解和掌握初等矩阵的定义，矩阵的等价，初等矩阵与初等变换的关系，初等变换求逆矩阵的方法。 4、掌握矩阵分块的定义及其运算，分块乘法的初等变换及其应用。 二次型 1、掌握二次型的矩阵与秩，二次型与对称矩阵的对应关系，二次型的等价与矩阵的合同。 2、理解和掌握标准形的定义，化二次型为标准型的配方法和合同变换法，复系数二次型的规范型，实系数二次型的惯性定理。 3、理解和掌握正定二次型（正定矩阵）的概念，实二次型（实对称矩阵）正定的充要条件；掌握负定、半正定、半负定、不定二次型（矩阵）的概念。 线性空间 1、理解和掌握线性空间的定义与简单性质，线性空间中的维数、基与坐标的概念，基变换与坐标变换，过渡矩阵的概念。 2、理解和掌握线性子空间的定义及其判定，扩基定理，子空间的交与和运算及其性质，维数公式，子空间的直和及充要条件。 3、掌握线性空间同构的定义及充要条件。 线性变换 1、理解和掌握线性变换的定义、运算及运算性质，线性变换的矩阵，坐标变换公式，线性变换在不同基下的矩阵，矩阵的相似关系，过渡矩阵的概念。 2、理解和掌握特征值、特征向量、特征多项式的定义、特征值与特征向量的求法，相似矩阵有相同的特征多项式，哈密尔顿—凯莱定理。 3、掌握属于不同特征值的特征向量之间的关系，特征子空间的维数与所属特征根重数关系，矩阵可对角化的条件。 4、理解和掌握不变子空间的定义，不变子空间与矩阵可对角化的关系，线性变换的值域与核，线性变换的秩与零度的关系。 5、理解和掌握若当块矩阵与若当形矩阵的定义，矩阵的若当标准形，矩阵的最小多项式概念，最小多项式与矩阵可对角化的关系。 λ—矩阵 1、掌握λ—矩阵的定义及初等变换，λ—矩阵可逆的充要条件，λ—矩阵的标准形。 2、理解和掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念，矩阵相似的充要条件，矩阵若当标准形的求法。 欧几里得空间 1、掌握欧氏空间的定义和简单性质，柯西—布涅柯夫斯基不等式，向量的长度、夹角、距离、度量矩阵的概念及性质，欧氏空间的同构。 2、理解和掌握向量正交基的概念，正交向量组的性质，施密特正交化方法，正交矩阵的概念及简单性质；标准正交基的过渡矩阵与正交矩阵的关系。 3、理解和掌握正交变换的定义和基本性质，正交变换的等价命题，正交变换的类型，子空间的正交概念，实对称矩阵特征值的性质，用正交替换变二次型为标准形的计算。 4、了解酉空间的定义和基本性质，厄米特矩阵的概念。