《几何和代数》复习要点.docVIP

09-10-2 《几何与代数》复习要点 第一章： 行列式的性质不必全部证明，重点是要会利用这些性质计算行列式的值； 计算行列式的典型方法：降阶、化成三角形行列式； Vandermonde行列式及分块上、下三角形行列式的结果应记住。 熟练掌握线性方程组求解的两种方法：Cramer法则和Guass消元法。 第二章： P52：知道矩阵乘法的分配律,并会运用。 P50: 记住矩阵的乘法不能随意交换次序。 P55: 记住转置运算的性质，特别是第(4)条。 p57: 行列式乘法定理的证明不用掌握；但结果需记住。 P58: 熟练掌握可逆矩阵的定义，计算，性质，特别是第（5）条。以及在后续章节中给出的矩阵可逆的其它充要条件，和计算方法。 P63: 分块矩阵。此节内容务必都掌握。 P70: 记住矩阵秩的最初定义，会用k阶子式去分析矩阵的秩。引理2.2，2.3，命题2.3不用去看。会用初等变换去求矩阵的秩(初等行变换已经够用，例2.20)。记住两个矩阵等价的定义，记住初等变换不改变矩阵的秩（命题2.4）。 P75: 记住几个初等矩阵的定义。理解定理2.4，证明不用掌握。 P77-78:个人认为推论2.2，2.3很有用，定理2.5和推论2.1若能记住更好。 P79: 会用初等行变换求解矩阵的逆及矩阵方程AX=B。如果矩阵方程是XA=B，会用转置 将其变形为ATXT=BT ,从而可用初等行变换求得解XT，最后转置一下得XA=B的解X。 2.5.3节：关于矩阵秩的不等式的命题应当熟悉，证明过程不必掌握。但作为对分块矩阵运算的运用，可以了解一下证明。其中的一些结果在第四章中还可以用向量组的秩来证明。 第三章： 掌握内积，外积，混合积的定义，物理意义，几何意义，及在直角坐标系下的计算。 知道两个向量共线的充要条件（定理3.1，推论3.1）。 知道三个向量共面的充要条件：定理3.2，推论3.2和混合积等于0。 仿射坐标系：了解即可； 向量积分配律的证明不必掌握：p101； 注意：知道“卦限”的概念； 3.4节所有内容应熟练掌握。注意： 会求直线在平面上的投影直线（课上曾举过例，往年试题也有例子）； 异面直线：公垂线的方向向量、距离要求会计算；但不要求会求公垂线方程； 3.5节空间直角坐标变换：不考。 第四章： 4.1.1-4.2.2：熟练掌握。 p135:矩阵的值域和核空间及其记号需要掌握。刻画矩阵值域的例子：p146例4.15解法一（解法二不必去看）和p156例4.21。刻画矩阵核空间的例子：p156例4.21。 4.2.3: 知道定理4.6（及前面的3个引理），但证明不用去看；掌握例4.11. 4.3.1：需掌握基的定义并会求，注意例4.14和例4.15可用4.5节的例4.21(p156)的方法求解。 4.3.2：对于基变换和坐标变换，只要求会求这两个空间的基变换、坐标变换 4．4节：4.4.1和4.4.3要求掌握；4.4.2：记住Schmidt正交化公式（三个向量的正交公式应该够用） 4.5.1-4.5.3: 熟练掌握 4.5.4节：不必记住教材上的分析和结论，但务必学会从方程组解的情况判断平面直线的位置关系，可结合p108的例3.13复习。往年试题也有此类问题。 4.6节最小二乘解：不考。 第五章： 5.1节：熟练掌握 5.2节：5.2.1-5.2.2要求掌握；5.2.3：要求记住并理解所有的结论，证明不必全部掌握，但建议理解定理5.3的证明；另外，要求掌握5.2节的所有例题。 5.3节：5.3.1：记住性质5.1-5.2和定理5.7，定理5.7的证明不必掌握；知道定理5.7后面的注中的结论（在p207的第32题中有用）；5.3.2：熟练掌握。 5.4节：不考。 第六章： 6.1.1-6.1.2：知道“二次型的矩阵”的定义，知道二次型与实对称的相互转化。务必知道合同与相似两个概念的区别与联系。知道如何由定理6.1推导出定理6.2。熟练掌握将一个二次型化为标准形的两种方法：正交变换和配方法。 6.1.3：知道正负惯性指数，秩的定义；知道命题的结论即可； 6.1.4：熟练掌握。会运用218页定理6.5(Sylvester定理)，其证明不用掌握； 6.2-6.3：注意：要求会画简单的空间图形：曲线曲面，投影柱面，投影曲线 旋转面：只要求学生掌握旋转轴是坐标轴的情形； 需记住二次曲面的分类，会用二次型的惯性定理对二次曲面进行分类； 233页例6.11：不必区分第一二类正交变换对图形的影响。 注：Matlab在期末考试中不作要求。 纯属个人观点，仅供参考