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第五章学习指导 随机现象、随机事件、随机变量概率及其计算概率分布正态分布二项分布卡方（χ2）分布Ｔ分布Ｆ分布抽样分布 随机现象、随机事件、随机变量 随机现象 我们先来看一些例子，同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯；新生婴儿可能是男孩，也可能是女孩；从全国的儿童中随机抽取一名，其智商可能高于100分，也可能低于100，其性格可能内向，也可能外向等等，这些现象只有在实验或观察完成之后才知道结果，而在此之前是无法预知的，而且在重复进行时，其结果也未必相同，这类现象就是随机现象。 随机事件 随机试验的每一个可能结果。 如过十字路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，这是一个随机现象，而“遇到红灯”则是一个随机事件。随机事件一般大写字母A，B，C，……表示，在一定条件下必定出现的结果称为该条件下的必然事件，记为Ω，在一定条件下必定不出现的结果称为该条件下的不可能事件，记为Φ。 在这里可以注意到一个事实，如果你连续经过几个十字路口，显然如果你在第一个路口“遇到红灯”，并不决定你在第二个路口会遇到什么灯。因此在第一个路口“遇到红灯”，与在第二个路口“遇到红灯”这两个随机事件之间是互不影响的，我们把互不影响的两个事件称为相互独立，这就是“事件独立性”的概念。注意并不是任何事件之间都独立，如在抽签中，第一个人抽中某一有利事件，第二个人抽中的可能性就比第一个人没有抽中小了一些。 独立性在概率论中是一个很重要的概念，除了事件的独立性外，还有随机试验的独立性，它指的是两个随机试验的所有事件之间相互独立。例如，抛置一个硬币是一个随机试验，抛置另一次是另一个随机试验，这两个随机试验就是相互独立的，因为第一次“出现正面上”，并不影响第二次出现哪一面（因为第二次抛置出现每一面的可能性仍然是一样的），第二次“出现反面上”，也不影响第二次出现哪一面。类似的，过两次十字路口也是相互独立的试验。 随机变量 取值为随机现象各种可能结果（随机事件）的量化数值的具有随机性和规律性的变量。随机变量的引入，使我们能用变量来刻划随机试验的结果以及随机事件，以便更好地借助于数学工具对随机现象进行研究。随机变量一般用希腊字母ξ，η，……表示 ，教材中用X，Y，……表示。比如抛置硬币，当出现“正面向上”这一事件时用1表示，当出现“反面向上”这一事件时用0表示，则“抛置硬币”这一随机现象可以用一个变量ξ来表示，随机变量ξ的每一个取值都表示一个随机事件。在一次抛置中出现“正面向上”的可能性为0.5，可以用P(ξ=1)=0.5来表示，“ξ=1”指的就是“正面向上”这一事件，把它放在P后的括号里就表示它的概率，我们知道这一概率为0.5，所以可用前面的式子来表示。 上面所说的“随机性”指的有两层含义，一方面指随着试验和观察次数的不同，随机变量可能取得不同的数值，即随机变量在不同的观察次数中数值在不断地变化，当然只有变化才称得上是变量；另一方面，取这些不同的值是随机的，不能预先知道的，而且取这些值的可能性也不一定相同。 上面所说的“规律性”表现在，多次实验或多次观测所得到的一系列数据虽然有波动有变异，但并非漫无边际，不可捉摸，它们集体呈现出一种规律性，这里的规律性即为可能性的大小——概率。 下面再举几个随机变量的例子： 例1、抛置骰子（麻将的色子），这一随机现象可以用如下的随机变量来表示： ? 其规律为： 例2、用比纳—西蒙智力量表随机测试一批儿童，得分将主要集中在70～130之间，则表示儿童智商得分的随机变量ξ就主要取这些数值，取这些数值的规律为均值为100，标准差为16的正态分布，正态分布将在后面介绍。 随机变量也分为离散型和连续型。前面举的骰子和硬币都是离散型的例子，儿童的智商、身高、体重等则是连续型随机变量。对于离散型随机变量，关心的是它取什么值以及取这些值的概率是多少；对于连续型随机变量，关心的是它在各个范围内取值的概率。 随机变量之间也有独立性这一概念，它指的是如果随机变量所对应的随机试验相互独立，那么称这些随机变量之间相互独立。 概率及其计算 本节补充介绍一些概率论知识，但这些内容有些难度。如果你能较好地理解“概率”表示“随机事件发生的可能性大小”这一概念，你又觉得下面的内容有些难懂，你可以大致浏览一下即可，而不必深究。 “概”即概括，“率”是指两个数之间的比。这里是指用一个比值来概括某事件出现的可能性大小。因为纯粹利用概率的概念是无法计算出概率的，所以它有几个用于不同情况下的计算办法： 古典概率（先验概率） 基本事件：如果某一随机实验可以分成有限的n种可能结果，这n种结果之间是互不交叉的，而且这些结果出现的可能性相等，我们把这n种可能结果称为基本事件。如抛置骰子这一随机试验的基本事件为：{1}{2}{3}{