抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案).docVIP

专题：抛物线与圆综合探究题 例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,， ⑴求二次函数的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．解： （1）将代入，得 ．将，代入，得 ．∵是对称轴，∴．将（2）代入（1）得， ．二次函数得解析式是． （2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．∵点的坐标为，点的坐标为，∴ 直线的解析式是，又对称轴为，∴ 点的坐标． （3）设、，所求圆的半径为r，则 ，.(1) ∵ 对称轴为，∴ ． (2)由（1）、（2）得：．(3) 将代入解析式，得 ，.(4)整理得： ．由于 r=±y，当时，，解得， ， （舍去），当时，，解得， ， （舍去）．所以圆的半径是或． 例2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。 ⑴试用含a的代数式表示b； ⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 （1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线经过O、A两点 解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线 （2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为∴点D的坐标为（） ①当时， 如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D ∴点D与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D上，且OD与⊙D相切 ∴点O为切点∴DO⊥OD ∴∠DOA＝∠DOA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形∴点D的纵坐标为 ∴抛物线的解析式为 ②当时， 同理可得： 抛物线的解析式为 综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或 （3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得 设点P的坐标为（x，y），且y＞0 ①当点P在抛物线上时（如图2） ∵点B是⊙D的优弧上的一点 过点P作PE⊥x轴于点E 由解得：（舍去） ∴点P的坐标为 ②当点P在抛物线上时（如图3） 同理可得， 由解得：（舍去） ∴点P的坐标为 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 或 例3、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。 ⑴求圆心的坐标； ⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数 y＝－x的图象上，求抛物线的解析式； ⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上； ⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。 解：（1）∵⊙C经过原点O， ∴AB为⊙C的直径。 ∴C为AB的中点。 过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝OB＝，OH＝OA＝1。∴圆心C的坐标为（1，）。 （2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。∵抛物线的顶点在直线y＝－x上， ∴顶点坐标为（1，－）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得 解得∴抛物线的解析式为。 （3）∵OA＝2，OB＝2，∴.即⊙C的半径r＝2。∴D（3，），E（－1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角。∴－1＜x0＜0，或2＜x0＜3。 例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。 ⑴求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标； ⑵若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形； ⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解