2017高考数学一轮复习第十二章概率与统计1222离散型随机变量的分布列均值方差的应用对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.2.2 离散型随机变量的分布列、均值、方差的应用对点训练 理 1．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中． (a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)； (b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)． 则(　　) A．p1p2，E(ξ1)E(ξ2) B．p1p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1p2，E(ξ1)E(ξ2) D．p1p2，E(ξ1)E(ξ2) 答案　A 解析　当i＝1时，若从乙盒中抽取的1个球为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为A1，则P(A1)＝. 若从乙盒中抽取的1个球为蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为A2，则P(A2)＝×＝，而A1与A2互斥，则p1＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.此时，ξ1的取值为1或2，P(ξ1＝1)＝，P(ξ1＝2)＝，则E(ξ1)＝1×＋2×＝.当i＝2时，若从乙盒中抽取的2个球都为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B1，则P(B1)＝. 若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B2，则P(B2)＝×. 若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B3，则P(B3)＝×.因为B1，B2，B3互斥，则p2＝P(B1＋B2＋B3)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝＝＝＝.则p1－p2＝0，即有p1p2.此时，ξ2的取值为1,2,3.P(ξ2＝1)＝，P(ξ2＝2)＝，P(ξ2＝3)＝，则E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝＝3p2＝，则有E(ξ1)E(ξ2)，综上，p1p2，E(ξ1)E(ξ2)，故选A. 2．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________. 答案　 解析　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝2)＝－p，从而由E(ξ)＝0×＋1×p＋2×＝1，得p＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 3．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下： T(分钟) 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 (1)求T的分布列与数学期望E(T)； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解　(1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)． (2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”． 解法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91. 解法二：P()＝P(T1＋T270)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09. 故P(A)＝1－P()＝0.91. 4.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．解　(1)由已知，有 P(A)＝＝. 所以，事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 所以，随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 5．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概