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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷 考试日期：2011年 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) （1） 对方程，写出其Newton迭代公式 【注意重根】 ，使得由迭代公式产生的序列可以2阶收敛于方程的唯一正根； （2）在上，设与等价，则当满足 ， 和 时，由（）产生的序列收敛于方程的根； （3）用Doolittle分解法求方程 则：= ，= ，解= ； （4）已知 ， 则： ； ； 。 （5）已知在区间上通过点，则其三次样条插值函数是满足 ， ， ； （6）设有线性回归模型，其中 且相互独立，写出参数的最小二乘估计 。 （7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法 。 （8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。 二、（本题8分）已知的数据如表： -2 0 2 6 0 4 -2 10 试求三次Newton插值多项式，求的近似值，并给出相应的误差估计式。 三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）： 四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B两道工序加工，A工序在设备或上完成，B工序在，，三种设备上完成。已知产品甲可在A，B任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在设备上加工；产品丙只能在与设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。 设备 产品 设备有效台时 设备加工费（元/小时） 甲 乙 丙 5 10 6000 0.05 7 9 12 10000 0.03 6 8 4000 0.06 4 11 7000 0.11 7 4000 0.05 原料费（元/件） 0.25 0.35 0.50 售价（元/件） 1.25 2.00 2.80 （1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。 五、（本题12分）一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，一周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实？ 六、（本题10分）设有数值求积公式，试确定，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。 七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表 因素 秧龄 苗数 氮肥 1水平 2水平 小苗 15万株/亩 8斤/亩 大亩 25万株/亩 12斤/亩 若考虑之间的交互作用，采用安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题： （1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，试寻找较好的生产条件。 八、（本题16分）设方程组为 （1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛； （2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式的分量形式； （3）取初始向量，用雅可比迭代方法求准确解 的近似解，使 至少需要迭代多少次？ 中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷） 考试日期：2010年 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程，可以表成，那么满足