高三理数一轮复习第9章圆锥曲线与方程.docVIP

第九章　圆锥曲线与方程 高考导航 考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质； 4.了解圆锥曲线的简单应用； 5.理解数形结合的思想； 6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法. 本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络 9.1　椭　圆 典例精析 题型一　求椭圆的标准方程 【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq \f(4\r(5),3)和 eq \f(2\r(5),3)，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】由椭圆的定义知，2a＝eq \f(4\r(5),3)＋eq \f(2\r(5),3)＝2eq \r(5)，故a＝eq \r(5)， 由勾股定理得，(eq \f(4\r(5),3))2－(eq \f(2\r(5),3))2＝4c2，所以c2＝eq \f(5,3)，b2＝a2－c2＝eq \f(10,3)， 故所求方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(3y2,10)＝1或eq \f(3x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)； (2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下： 据此，可推断椭圆C1的方程为　　　　　. 【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－eq \r(2)，0)，C(0，eq \r(6))，D(2，－2eq \r(2))，E(2eq \r(2)，eq \r(2))，F(3，－2eq \r(3)). 通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上. 显然半焦距b＝eq \r(6)，则不妨设椭圆的方程是eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,6)＝1，则将点 A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1. 方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些. 不妨设有两点yeq \o\al(2,1)＝2px1，①yeq \o\al(2,2)＝2px2，②eq \f(y\o\al(2,1),y\o\al(2,2))＝eq \f(x1,x2)， 则可知B(－eq \r(2)，0)，C(0，eq \r(6))不是抛物线上的点. 而D(2，－2eq \r(2))，F(3，－2eq \r(3))正好符合. 又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－eq \r(2)，0)，C(0，eq \r(6))不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(2eq \r(2)，eq \r(2))这两个点代入，可得椭圆的方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1. 题型二　椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，|PF1