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坐标和速率在机器人执行件坐标系和关节角度之间的转换 摘要 本文介绍了一种关于位置和速率在末端执行件坐标系和关节坐标系之间转换的有效算法。这种算法是针对一种六自由度的机械手设计的。这种机械手的手腕处有三个轴相交的旋转关节组成。本文也关注了当机械手的位置接近死点时的一些问题。 1、简介 本文提出算法计算机器关节变量反之亦然。变量的值可以被认为是作为矢量在这种情况下，该算法可以被认为是作为进行关节空间和笛卡尔坐标系坐标转换 使用这种转化的原则是将末端执行件所需的运动转化为合适的可以控制的关节变量的值。并且也是用测量的关节变量的值来计算末端执行件的移动。如果末端执行件的移动事先并不知道，那么这些计算就必须是实时进行的。 位置和速率从关节坐标系到笛卡尔坐标系的转变的一般理论是存在的。这些理论都非常的有效，并且容易用数字来表示和计算。他们可以提供唯一的解，并且他们可以应用简单几何的方法解决机器人的问题，不论它有多少关节。速率从笛卡尔坐标系到关节坐标系的转换的一般理论也是存在的。这些理论同样可以得到唯一的解，而且可以应用几何来解决机器人的问题。但是它们都牵涉到了雅克比矩阵的计算和转置。这是一个非常耗时的过程。而且当雅克比式接近0 的时候转置在数值上会呈现出“病态”。所有这些关于速率转换的理论都需要知道关节变量的值。 不同的是，位置从笛卡尔坐标系到关节坐标系的转换通常得不到一个封闭的解。但是，它可以表示成一个阶数为2的n次方的多项式，n的数值由机械手的几何特征决定（如果机械手没有六个自由度，需要新增的条件才可以得到结果）。这个问题的答案是多值的，而且过程耗时，并且需要反复的找结果的根。即使这样，也可能得不到所有的解，也可能找到的解只是给出了一个近似的值。 一般的几何学很难解决笛卡尔到关节坐标系的位置转换问题，但是有一些特殊的关节轴结构可以得到一个封闭的解。在这些例子中，因为可以得到所有的解，而且耗时少，所以最好使用封闭的理论来解决问题（PIEPER 11968）。这种关节结构是拥有六个关节的机械手。这六个关节中接近末端执行件的三个关节都是转动的，并且它们的轴线交与一点（被称为手腕）。拥有这种关节结构的机械手拥有一种特性。它就是手腕的位置可以由末端执行件的位置和指向直接计算出来，而不需要知道其他的关节变量。因此，位置转换的问题可以分成两个部分的小问题：（1）正确的找到手腕的位置，也就是这三个关节变量的值；（2）正确的找到指向末端执行件的手腕关节的角度，这个角度可以由三个关节变量的值求得。 本文介绍的算法，解决位置和速率在笛卡尔和关节坐标系的相互转换问题。这种算法针对的是下文要介绍的机械手。这种算法公式是针对这种机械手的，但是也可以用到满足上文所述条件的任何机械手中。这种算法使用机械手的简单几何学适当的加速了一般的关节空间到笛卡尔坐标系的坐标转换问题的解决。并且有效的加速了速率从笛卡尔到关节坐标系的一般转换理论的问题的解决。使用这种算法，在一个拥有浮点硬件的电脑上可以实现实时的转换运算。 2、机器人定义 本文讨论的机器人拥有六个旋转关节。它们的结构见图1.连杆L1、L2和L3是同平面的。并且当θ1=0时，它们在基本坐标系的y-z平面上。如果θ4=，那么L4和其他的连杆也在同一平面。基本坐标系上的z轴指向上方，y轴指向前方，x轴指向（机器人的）右边。末端执行件的坐标系的原点在夹子中间，z轴指向它指向的位置。 从基座标到执行件坐标的转换通过将基座标旋转θ1（等同于旋转向量θ1），将基座标沿着z轴从原点开始移动L1的距离（等同于移动向量L1），接着旋转向量-θ2，移动向量L2，旋转-θ3，移动L3，旋转θ4，-θ5和θ6，并且最终移动向量L4。因此如果所有的关节角度都是0，那么末端执行件坐标系平行于基座标系，这种转化就是纯粹的坐标移动，只是沿着z轴移动L1+L2+L3+L4。 末端执行件在关节坐标系中位置可以表示为关节角度的向量θ=。末端执行件在笛卡尔坐标系中可以表示为向量R=，其中r=表示末端执行件坐标系的原点在基座标中的原点位置；而 则分别表示关于z轴，新-x轴，和新z轴的旋转。这种旋转将末端执行件坐标系和笛卡尔坐标系联系起来（见于图2）。这些旋转系数是根据它们在手腕处的机械结构的关系和轻微的简化计算公式来选择的。全部的旋转也可以表示为一个矩阵E（用列向量做出），这个矩阵和旋转角度的关系可以表示为： 其中表示cos，其他的也是如此。因此： 如果那么： 但是如果那么： 其中表示的意思是 在这个转换算法中需要用到两个临时坐标系。它们分别是连杆L1的坐标系和连杆L3的坐标系。前者通过将基座标系旋转向量。因为连杆1,2和3通常都在这个坐标系的y-z平面上。后者是通过旋转连杆L