复合函数定义域及求解析式.docVIP

例2： ⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域； ⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域； ⑶已知定义域是，求定义域． 答：⑴　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数． 函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]． ∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]． ⑵　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]， ∴的定义域是[-3，1]．要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。 ⑶　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域 ∴ ∴ ∴ ∴的定义域是[1，）． 例3：已知函数定义域是（a,b），求的定义域． 解：由题，，， 　　当，即时，不表示函数； 当，即时，表示函数， 其定义域为． 例4：已知函数, 求的值域。 分析：令，； 则有， 复合函数是由与复合而成，而，的值域即的值域，但的本身定义域为,其值域则不等于复合函数的值域了。 例5：已知函数，求函数的解析式，定义域及奇偶性。 分析：因为定义域为{或} 令，；则，且 所以 ，定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数。 然而只就解析式而言，定义域是关于原点对称的，且，所以是奇函数。就本题而言就是外函数其定义域决定于内函数，的值域，而不是外函数其解析式本身决定的定义域了。 2．求有关复合函数的解析式， 例6．①已知 求； ②已知 ，求． 例7．①已知 ，求； ②已知，求． 要点3： 已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。 已知求的常用方法有：配凑法和换元法。 配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。 换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。 例8．①已知是一次函数，满足，求； ②已知，求． 要点4： ⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 ⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。 二、练习： １．已知，求和． 解：令，设， 令，设， ．