小学奥数之_数论综合(一).docVIP

数论综合（一） 涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段 1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么? 【分析与解】 我们知道如果有5个连 续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字0。 所以小于5． 4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0； 如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，94； 所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科 ：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，23×4的个位数字4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足． n为2时，有1×2，23，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，40，显然不满足． 至于n取1显然不满足了． 所以满足条件的是4． 2．如果四个两位质数，b，，d两两不同，并且满足，等式+b=c+d．那么， )a+b的最小可能值是多少? 2)a+b的最大可能值是多少? 【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l， 6771，73，79，83，89，97． 可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168． 所以满足条件的+b最小可能值为30，最大可能值为168． 3．如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与1的差是质数； ②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5． 那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数． 【分析与解】 条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个 其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14． 所以两位幸运数只有14．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少? 555555=5×111×1001 =3×5×7×11×13×37 显然其最大的三位数约数为777．5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大? 【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．2002÷847=2……308，847÷308=231，308÷231=1……77．231÷77=3． 不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫 6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不 【分析与解】 设这三个数为、b、，且b＜c，因为两两不互质，所以 小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=27，其中质因数7只14含有，无法找到两个不与14互质的数． 所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列． (6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)． 7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最1．那么最少要分成多少组? 【分析与解】262×13，33=3×11，34=2×17，355×7，63×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13． 由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成3组： 26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组． 3组． 8．图101中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，? 【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便 小圆周长为×30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍120． 120÷30=4．120÷24=5． 所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个圆周长，即爬到了过A 9．设与是两个不相等的非零自然数． (1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的? (2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的? 【分析与解】 (1)与的最小公倍数72=2×22×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6