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* 返回 后页 前页 8.5 主轴问题 授课题目：8.5主轴问题 授课时数：3学时 教学目标：会用正交线性替换化实对称矩阵为 对角形 教学重点与难点：会用正交线性替换化实对称 矩阵为对角形 定义1 设U为n 阶正交矩阵，对n 元实二次型 作可逆线性替换X=UY，则我们把这种线性替 换称为正交线性替换。 一. 正交线性替换 由定理7.5.5我们知道, 对任意n 阶实对称矩阵 A，都存在正交矩阵U，使得 二. 正交线性替换与实对称矩阵的化简 其中， A的全部特征根，U的第j列是A的属于特征根 的特征向量( j=1,2,……,n) 定理8.5.1 任一n 元实二次型 都可以通过正交线性替换X=UY化为标准形 其中 是A的全部特征根. 推论1 n 元实二次型 必要条件是A的全部特征根都是正数. 正定的充分 对n 元实二次型A，除了用施密特正交化法求 出U使得 我们还可以用解齐次线性方程组来取代求出所 需的U，具体步骤为： 求出实对称矩阵A的全部特征根 三. 正交线性替换化实对称矩阵为对角形步骤 为对角形. 2. 对特征根 求得一非零解 求得一个非零解 重复这个步骤，便可求得属于 类似于 可求得属于它的 3. 将第二步中得到的 单位化，得 再以其为列作为一个矩 彼此正交. 阵U，则U正是所求的正交矩阵. 所以A的特征根为2，2，8. 对特征根2，解齐次 线性方程组 例1 求正交矩阵U，使得 解 因为 化为对角阵. 可求得非零解 解方程组 又得一个非零解 对特征根8，解齐次线性方程组 由 可求得一个非零解 以 为列做矩阵. 则U是正交矩阵，且可验证