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中心極限定理课件
* §4.2 中心极限定理 定理1 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 相互独立, 服从同一分布,且有期望和方差: 则对于任意实数 x , 注 记 则Yn为 的标准化随机变量 即 n 足够大时,Yn的分布函数近似于标准正态 随机变量的分布函数. 近似服从 定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理(不同分布) 设随机变量序列 相互独立, 且有有限的期望和方差: 记 若 则对于任意实数 x , 定理3 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 (DeMoivre-Laplace) 设Y n ~ B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,… 则对任一实数 x,有 即对任意的a b, Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似) 例1 设有一大批种子,其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下不超过1%的概率. 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数,则X ~ B(6000,1/6). 中心极限定理的应用 比较几个近似计算的结果 用中心极限定理 用二项分布(精确结果) 用Poisson分布 用Chebyshev不等式 例2 某车间有200台车床,每台独立工作,开工率为0.6.开工时每台耗电量为 r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产? 解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力; 设 X 为200台车床的开工数. X ~ B(200,0.6) , 问题转化为求 a , 使 X ~ N (120, 48) (近似). 由于将 X 近似地看成正态分布,故 反查标准正态函数分布表,得 令 解得 (千瓦). 例3 检查员逐个地检查某种产品,每检查一只产品需要用10秒钟.但有的产品需重复检查一次,再用去10秒钟.假设产品需要重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率. 解法一 检验员在8小时内检查的产品多于1900个即检查1900个产品所用的时间小于8小时. 设 X 为检查1900个产品所用的时间(单位:秒). 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位:秒),k = 1,2,…,1900. Xk P 10 20 0.5 0.5 相互独立,且同分布, 解法二 — 1900个产品中需重复检查的个数. 例4 对敌人的防御工事用炮火进行100次轰击,设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2,均方差为1.5.如果各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率. 解 设X k表示第 k 次轰击命中的炮弹数. 相互独立. 设 X 表示100次轰击命中的炮弹数,则 (1) (2) 例5 售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X 是出售了100份报时过路人的数目,求P (280 ? X ? 320). 解 令Xi 为售出了第i – 1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,i = 1,2,…,100. (几何分布) 相互独立,
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