3.2函数的应用资料.ppt

3.2　函数模型及其应用 ? 3.2.1　几类不同增长的函数模型（一） 函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？ 解:设第x天所得回报是 y元，则 方案一： 方案二： 方案三： 在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 投资天数、回报金额、累计回报数 上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？ 分析三种方案所得回报的增长情况？ 三种方案所得回报的增长情况： 1 2 3 40 40 40 0 0 10 20 30 10 10 0.4 0.8 1.6 0.4 0.8 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长： 　　　　我们看到，底为 2的指数函数模型比 线性函数模型增长 速度要快得多。从中 体会“指数爆炸“的含义。 y x o y=40 y= 10x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 方案三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 结论: ①投资1~6天,应选择方案一; ②投资7天,应选择方案一或二; ③投资8~10天,应选择方案二; ④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三. 回报 天数 方案 ?累计回报表： 方案一 方案二 方案三 实际应用问题 分析、联想 抽象、转化 构建数学模型 解答数学问题 审 题 数学化 寻找解题思路 还原 (设) (列) (解) (答) ★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下： 【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？ 本问题涉及了哪几类函数模型？ ············· 一次函数模型 y=0.25x y=log7 x +1, ············· 对数函数模型 ············· 指数函数模型 y=1.002x 你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%. 因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果. 400 600 800 1000 1200 200 1 2 3 4 5 6 7 8 x y o y=5 y=0.25x 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？ 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？ ①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增, 当x20时,y5,因此该模型不符合要求; 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？ ②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增, 观察图象并结合计算可知,当x806时,y5,因此该模型不符合要求. 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？ ③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时, y=log71000+1≈4.555, 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？ 解:当x∈[10,1000]时, 要使y≤0.25x成立, 令f(x)= log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是否有f(x) ≤0恒成立? 即当x∈[10,10